On the nomality of subsequences of generalized Thue-Morse sequences

Abstract

This diploma thesis discusses a problem related to the well-known third Gelfond problem. We consider the generalized Thue-Morse sequence, i.e. the sum-of-digits function to the base q modulo m, and show that each subsequence along squares of length k appears with asymptotic frequency 1/q k.

The first chapter gives some general information about the sum-of-digits function as well as the Gelfond problems. Furthermore, an outline of the complete proof and a more detailed description of the following chapters are covered. We use a method developed by Mauduit and Rivat in 2009 which involves Fourier-analytic methods. A similar problem, i.e. the special case q=m=2, was already solved by Drmota, Mauduit and Rivat in 2014.

The main contribution of this work is to find appropriate bounds for the corresponding Fourier terms in this more general setting. This is covered in Chapter 2. Whereas the proof of Drmota, Mauduit and Rivat, for the special case, consists of finding one special sequence, we have to consider many such admissible sequences for our generalization.

In Chapter 3, we discuss some auxiliary results and, finally, in Chapter 4, we cover the proof of the result stated above. This part is quite similar to the proof of the special case q=m=2. We conclude this work by suggesting various possible generalizations.

Diese Diplomarbeit behandelt ein Problem, das an das bekannte dritte Problem von Gelfond angelehnt ist. Wir behandeln eine Verallgemeinerung der Thue-Morse Folge, nämlich die Ziffernsumme zur Basis q Modulo m. Wir zeigen, dass jede Teilfolge entlang der Quadrate der Länge k mit asymptotische Häufigkeit 1/q k auftritt.

Im ersten Kapitel werden allgemeine Informationen über die Ziffernsumme sowie die Gelfond Probleme präsentiert. Außerdem wird eine Beweisskizze, sowie genauere Beschreibungen der folgenden Kapitel präsentiert. In dieser Arbeit verwenden wir eine Methode die auf Mauduit und Rivat (2009) zurückgeht, die Fourier-analytische Methoden beinhaltet. Ein Spezialfall (q=m=2) wurde bereits von Drmota, Mauduit und Rivat im Jahr 2014 behandelt.

Der größte Beitrag dieser Arbeit besteht darin, dass gute obere Schranken für die auftretenden Fourier-Terme in diesem allgemeinen Fall gefunden werden. Dies passiert in Kapitel 2. Währende es für den Beweis von Drmota, Mauduit und Rivat (für den Spezialfall) ausreicht eine spezielle Folge zu finden, ist es in diesem allgemeineren Fall notwendig viele ("admissible") Folgen zu betrachten.

In Kapitel 3 behandeln wir einige vorbereitende und wohl bekannte Resultate. Kapitel 4 deckt den Beweis des Resultats dieser Diplomarbeit ab. Dieser Teil ist ähnlich zu dem Beweis des Spezialfalls q=m=2. Zum Schluss werden einige mögliche Verallgemeinerungen vorgestellt.