A framework for a priori refined adaptive meshes applied to real-time lattice field theory in 1+1D

Abstract

Ein einfaches Rechenverfahren zum Lösen von Echtzeit-Gitterfeldtheorien besteht darin, die Raumzeit auf einem Gitter zu diskretisieren, das einen konstanten Gitterabstand hat. Die numerische Genauigkeit kann dabei systematisch erhöht werden, indem der Gitterabstand auf dem gesamten Gitter verkleinert wird. Dies führt zu unnötig hohem Rechenaufwand, wenn die Lösung nicht von einer höheren Genauigkeit auf dem gesamten Gitter profitiert. In dieser Arbeit wird eine neue Methode vorgestellt, die mit adaptiven Diskretisierungen in 1+1D arbeitet. Die Raumzeit wird so diskretisiert, dass das Gitter nur in den Bereichen, in denen die Lösung eine höhere Genauigkeit erfordert, einen kleineren Gitterabstand aufweist. Die Bereiche mit unterschiedlichen Gitterabständen werden zu einem zusammenhängenden Gitter zusammengefügt. Diese Gitter werden von einem Solver verwendet, um die Zeitentwicklung des freien, masselosen Skalarfeldes zu berechnen. Die Grenzen zwischen den unterschiedlichen Bereichen benötigen spezielle Verfeinerungsprozesse, um die Zeitentwicklung berechnen zu können. Untersucht werden verschiedene Schemata für diverse Arten von Grenzen. Die für die Verfeinerung verwendeten Gleichungen basieren auf Symmetrien der Bewegungsgleichungen und einer Erhaltungsgröße. Umfangreiche numerische Analysen zeigen, dass die Verfeinerungsprozesse erfolgreich sind. Ihr Fehler skaliert mit dem Gitterabstand mit derselben Rate, wie auch der Fehler der diskretisierten Bewegungsgleichungen.

A straightforward computational method for solving real-time lattice field theories is to discretize spacetime on lattices with constant spacings. The numerical accuracy can be systematically increased by shrinking the lattice spacings for the entire lattice. However, this leads to unnecessary high resource demand if the solution does not benefit from higher accuracy on the entire domain. In this thesis, a new method is introduced that is designed to work with adaptive discretizations in 1+1D. Spacetime is discretized such that it has a smaller lattice spacing only for regions where the solution requires better accuracy. The regions with different lattice spacings are combined into a connected mesh. These lattices are used by a solver to calculate the time evolution of the free, massless scalar field. At the borders between the different regions, special refinement schemes are needed to update the values for the next time step. A collection of schemes for various border types is studied. The refinement equations embrace the symmetries of the equations of motion and a conserved quantity. Extensive numerical analysis demonstrates that these refinement schemes are successful. Their error scales with the lattice spacing at a rate that matches the discretization error of the equations of motion.