Martingale decomposition theorems and the structure of no arbitrage

Abstract

Zunächst beweisen wir einen Martingalzerlegungssatz für beliebige lokale Martingale. Wir vergleichen diese Zerlegung, die wir Radon-Nikodym-Zerlegung nennen, mit der wohlbekannten Kunita-Watanabe-Zerlegung. Anhand verschiedener Beispiele illustrieren wir, dass die Kunita-Watanabe-Zerlegung im Allgemeinen nicht existiert. Nichtsdestotrotz, die Radon-Nikodym-Zerlegung existiert, und wir geben diese für die speziellen Beispiele an. Desweiteren widmen wir uns der Struktur lokal quadratintegrierbarer Semimartingale. In mehreren Strukturtheoremen beleuchten wir die Verbindung zwischen der Struktur lokal quadratintegrierbarer Semimartingale einerseits und der Struktur strikt positiver Sigma-Martingaldichten andererseits. Während die Struktur lokal quadratintegrierbarer Semimartingale mit Hilfe von sogenannten Strukturbedingungen beschrieben werden kann, lässt sich die Struktur der Sigma-Martingaldichten mit Hilfe verschiedener Martingalzerlegungsätze beschreiben. Wir vergleichen unsere neuen Strukturbedingungen mit der wohlbekannten Strukturbedingung (SC) und der schwachen Strukturbedingung (SC'). Anhand zahlreicher Beispiele illustrieren wir, wie diese neuen Strukturbedingungen verwendet werden können, um strikt positive Sigma-Martingaldichten zu finden. Schließlich wenden wir uns im letzten Teil der Modellierung mehrerer Phänomene zu, die im Zusammenhang mit der Anwesenheit großer Händler in Finanzmärkten stehen. Um diese Phänomene sauber trennen zu können, orientieren wir uns am Baukastenprinzip. Hierbei steht jeder einzelne Baustein für ein im Zusammenhang mit der Anwesenheit eines großen Händlers auftretendes Phänomen. Wir konzentrieren uns hier auf zwei Phänomene. Das erste betrifft die Art und Weise, wie ein großer Händler Einfluss auf den Preisprozess nehmen kann. Um ein Finanzmarktmodell mit großem Händler einführen zu können, das nicht im Widerspruch zu gängigen no-arbitrage-Annahmen für den kleinen Händler steht, widmen wir uns auch diesem Phänomen. Schließlich untersuchen wir das Nutzenmaximierungsproblem des großen Händlers. Dabei stellt sich heraus, dass ein großer Händler, trotz erfüllter no-arbitrage-Bedingungen, einen Finanzmarkt destabilisieren kann.

In the first part, we provide a martingale decomposition theorem for arbitrary local martingales. Moreover, we compare this decomposition, named Radon-Nikodym decomposition, to the well known Kunita-Watanabe decomposition. Furthermore, we give examples in which the Kunita-Watanabe decomposition does not exist. Finally, we provide the Radon-Nikodym decomposition in these particular examples. The second part is dedicated to structure conditions for locally square-integrable semimartingales. In several 'structure theorems', we highlight the connection between the structure of locally square-integrable semimartingales, encoded in different 'structure conditions', and different martingale decomposition theorems of strictly positive sigma-martingale densities with respect to the local martingale part of the semimartingale under consideration. We compare these new structure conditions to the well known structure condition (SC) and the weak structure condition (SC'). Through numerous examples we highlight how these new structure conditions can be used in order to find strictly positive sigma-martingale densities. In the last part, we provide a modular model approach to large traders. The idea is to 'decompose' the different phenomena, related to the presence of a large trader in a financial market, into several modules. Here, we consider the 'price module' and the 'no arbitrage for the small trader' module. In the first one, we provide a flexible model that allows us to model the impact of the large trader on the price process. In the second module, we provide minimal assumptions that ensure that the turbulences, caused by the large trader's actions, do not lead to arbitrage opportunities for the small trader. With the help of the structure condition (SC), we provide sufficient conditions that ensure that these results hold for a large class of large trader strategies. Finally, we consider the large trader utility maximization problem. We discover new phenomena that reveal that the presence of a large trader might destabilize the financial market. These phenomena appear even though the large trader strategy is not an arbitrage strategy in the sense of the classical no arbitrage condition.