Title: Real rational conchoids of curves and surfaces
Language: English
Authors: Gruber, David
Qualification level: Doctoral
Keywords: Konchoide; Rationale Parametrisierung; del Pezzo Fläche; Regelfläche; Quadrik; Polardarstellung; Kegelschnitt
conchoid; rational parameterization; del Pezzo surface; ruled surface; quadric; polar coordinates; conic section
Advisor: Peternell, Martin
Assisting Advisor: Lavicka, Miroslav 
Issue Date: 2013
Number of Pages: 80
Qualification level: Doctoral
Abstract: 
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion von Konchoiden und deren Eigenschaften in der Euklidischen Ebene und im Euklidischen Raum.
Die Konstruktion kann relativ grob, wie folgt beschrieben werden: Von einer gegebenen Kurve wird eine Abstandskurve konstruiert, wobei der Abstand bezüglich eines Referenzpunkts gemessen wird. Diese Konstruktion lässt sich auch direkt auf Flächen erweitern. Konchoiden haben Anwendung in den Bereichen, Medizin, Optik, Astronomie, Akustik, Mechanik und Elektronik. Hierbei tritt in erster Linie die Limacon des Pascal, das sind Konchoiden eines Kreises durch den Referenzpunkt, auf. Das Hauptaugenmerk der vorliegenden Arbeit liegt im Erstellen von rationalen Parametrisierungen von Konchoiden von Flächen. Dazu wird ein Modell vorgestellt, bei dem die Flächen im dreidimensionalen Raum, auf Flächen auf einem Kegel in einem vierdimensionalen Raum abgebildet werden. Rationale Parametrisierungen haben vor allem durch den Einsatz von CAD-Systemen eine wichtige Bedeutung in der Geometrie. Ziel ist es, Klassen von Flächen zu bestimmen, deren Konchoiden rationale Parametrisierungen besitzen. Das einfachste Beispiel für eine solche Fläche ist die Ebene. Diese besitzt rationale Parametrisierungen mit rationaler Distanz in den Flächenparametern zum Referenzpunkt. Somit sind auch die Konchoiden der Ebene bezüglich des Referenzpunkts rational parametrisierbar.
Die Arbeit ist folgendermaßen gegliedert:
Kapitel 1 beinhaltet einige Grundlagen die dem Verständnis der Arbeit dienen. Kapitel 2 widmet sich den Konchoiden der Kurven. Dabei wird das Kegel-Modell präsentiert und die Konchoiden einiger Kurven berechnet.
Dieses Kapitel dient in erster Linie dem besseren Verständnis des Kegel-Modells.
Das dritte Kapitel behandelt Konchoiden von Flächen und deren rationale Parametrisierungen. Dazu wird das Kegel-Modell auf Flächen erweitert und daraus resultierende Parametrisierungsmöglichkeiten vorgestellt. Mit Hilfe des Kegel-Modells wird die rationale Parametrisierbarkeit von Konchoiden von rationalen Regelflächen und Quadriken gezeigt.

This thesis deals with the construction of conchoids and their attributes. The conchoid construction dates back to the ancient Greeks.
It was Nicomedes who discovered the Conchoid of Nicomedes, the conchoid of a line, and used it for example for angle trisection. The construction of the conchoid results, roughly speaking, in a distance curve to a given curve, where the distance is measured with respect to a given reference point. This construction can be directly extended to surfaces.
There are several applications of conchoids, for example medicine, optics, astronomy, acoustics, mechanics and electronics.
In most cases the Limacon of Pascal, a conchoid to a circle going through the reference point, appears.
The focus of this thesis is on rational parameterizations of conchoid surfaces. Mainly because of representations of geometric objects in CAD systems, such rational parameterizations are of scientific interest. A model to find such parameterizations is presented. The surfaces of the three-dimensional space are mapped to surfaces on a cone in a four-dimensional space.
The aim is to determine which rational surfaces have conchoids, admitting rational parameterizations. A simple example is the plane, it possesses a rational parameterization with rational distance in the surface parameters to the reference point. Hence the conchoid surfaces of the plane also admit rational parameterizations.
The structure of the thesis is the following:
Chapter one gives an introduction to projective geometry and to the conchoid construction, for better understanding of the thesis.
Chapter two introduces the cone model for the calculation of rational parameterizations of curves and their conchoids.
Chapter three covers the rational parameterizations of surfaces and their conchoids. The cone model of Chapter two is extended to the three-dimensional space and we prove that rational ruled surfaces and quadrics and their conchoids posses rational parameterizations.
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-57568
http://hdl.handle.net/20.500.12708/9488
Library ID: AC10774511
Organisation: E104 - Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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