Hybrid discontinuous Galerkin methods for the wave equation

Abstract

Die Dissertation widmet sich hybriden discontinuous Galerkin Finiten Element Methoden (FEM) für die skalare und die vektorwertige Wellengleichung.<br />Wie bei hybriden FEMen für die Laplace Gleichung wird dabei die Stetigkeit des Flusses an den Elementgrenzen gebrochen und über Lagrangemultiplikatoren, die nur dort existieren, erneut erzwungen. Im Falle der Wellengleichung ermöglicht es aber erst die Einführung eines zweiten Satzes von Lagrangemultiplikatoren, die Volumenfreiheitsgrade elementweise zu eliminieren.<br />Dadurch kann das zu lösende Gleichungssystem auf das viel kleinere System der Lagrangemultiplikatoren reduziert werden.<br />Diese hybride FEM lässt sich für die zweidimensionale Helmholtz Gleichung mittels einer diskreten Eigenfunktionenbasis effizient umsetzen.<br />Auf einem Rechteckgitter kann diese Basis durch das Lösen von eindimensionalen Eigenwertproblemen, die nur von der Seitenlänge und der Polynomordnung abhängen, konstruiert werden. Mit Hilfe der Eigenfunktionenbasis wird die Assemblierung stark vereinfacht, und die Elimination der Volumenfreiheitsgrade kann mit geringem Rechenaufwand durchgeführt werden.<br />Zusammen mit der Tatsache, dass das Eigenwertproblem auch für Polynomordnungen größer tausend schnell gelöst werden kann, wird die Verwendung von Elementen sehr hoher Ordnung möglich. Durch das Zulassen von Netzen mit hängenden Knoten lässt sich die exponentielle Konvergenz von [hp]-Methoden ausnutzen.<br />Eine besondere Herausforderung ist die Lösung des resultierenden Gleichungssystems.<br />Die hybride FEM bietet auf natürliche Weise die Möglichkeit, dieses Gleichungssystem über Krylovraumverfahren zusammen mit Gebietszerlegungsmethoden effizient zu lösen.<br />Neben Additiven und Multiplikativen Schwarz Vorkonditionierern mit lokalen Glättern, sowie einem elementweisen BDDC-Vorkonditionierer wird ein neuer Gebietszerlegungsvorkonditionierer vorgestellt, der in jedem Iterationsschritt Teilgebietsprobleme mit Robin Randbedingungen direkt löst und sich folglich bestens zur Parallelisierung eignet.<br />Numerische Experimente bestätigen die guten Konvergenzeigenschaften dieser Löser.<br />

In this thesis, we investigate hybrid discontinuous Galerkin finite element methods (FEM) for the scalar and vector valued wave equation.<br />In these methods the continuity of basis functions is broken across element facets, i.e., the interfaces between them.<br />A continuous solution is reinforce via Lagrange multipliers supported only on element facets.<br />For the wave equation a second set of multipliers is necessary to eliminate the original degrees of freedom cheaply element by element.<br />This approach allows to reduce the system of equations to a much smaller system just for the Lagrange multipliers.<br />Apart from this, the work presents an optimized implementation technique of the hybrid FEM for the two dimensional Helmholtz equation, which is based on an eigenfunction basis.<br />For rectangular meshes the construction of such a basis requires the solution of a one dimensional eigenvalue problem for each pair of edge length and polynomial order.<br />The eigenvalue problem can be solved for polynomial orders up to thousands. Combining this with the cheap assembly and the computationally inexpensive elimination of the interior degrees of freedom, we are able to use very high order basis functions efficiently.<br />By allowing for hanging nodes, we can benefit from exponential convergence of [hp]-methods.<br />A very challenging point is solving the resulting system of equations. Since the hybrid formulation provides appropriate interface conditions, an efficient iterative solution with Krylov space methods combined with domain decomposition preconditioners is possible.<br />Apart from multiplicative and additive Schwarz block preconditioners with local smoothers or an element wise BDDC preconditioner, a new Robin type domain decomposition preconditioner is constructed.<br />This preconditioner solves in each iteration step local problems on subdomains by directly inverting the system matrix.<br />Thus, it is well suited for parallel computations.<br />Good convergence properties of these iterative solvers are demonstrated by numerical experiments.