Geier, J. (2011). Efficient integrators for linear highly oscillatory ODEs based on asymptotic expansions [Dissertation, Technische Universität Wien]. reposiTUm. https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-60281
Es wird eine Klasse von effizienten Einschrittverfahren zur Lösung linearer hoch oszillierender gewöhnlichen Differentialgleichungen diskutiert. Während Standardmethoden ein sehr feines Gitter benötigen um die Oszillationen aufzulösen, können die neuen Methoden Schrittweiten benutzen, die größer als die (lokale) Wellenlänge der Lösung sind.<br />Zunächst wird eine analytische, WKB-artige Transformation des Problems durchgeführt, wodurch die dominanten Oszillationen heraus gefiltert werden. Das resultierende Problem ist wesentlich glatter als das Ausgangsproblem und kann somit auf einem gröberen Gitter diskretisiert werden. Dadurch wird der numerische Aufwand entscheidend verringert.<br />Es werden lineare, singulär gestört System gewöhnlicher Differentialgleichungen behandelt, die durch "two-band" Schrödinger Gleichungen motiviert sind. Diese treten in Quantentransport Anwendungen auf. Die Effizienz der diskutierten Methoden wird durch numerische Experimente veranschaulicht.<br />
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An efficient and accurate numerical method is presented for the solution of highly oscillatory differential equations in one spatial dimension. While standard methods would require a very fine grid to resolve the oscillations, the presented approach uses first an analytic WKB-type transformation, which filters out the dominant oscillations.<br />The resulting ODE-system is much smoother and can hence be discretized on a much coarser grid, with significantly reduced numerical costs.<br />We are concerned with linear, singularly perturbed first order ODE systems, which are motivated by stationary two-band Schrödinger equations employed in quantum transport applications. The accuracy of the presented methods is illustrated on numerical examples.
