Mathematische Analyse der "Fraktalen Tonalität" des Komponisten T. H. Schuler

Abstract

Das Ziel dieser Diplomarbeit war es, die Musiktheorie "Fraktale Tona- lität", die Thomas Herwig Schuler in seiner Dissertation vorgestellt hat, auf zugrunde liegende mathematische Strukturen zu untersuchen. Ein fundamentaler Unterschied der Fraktalen Tonalität zur traditionellen Musik ist, dass die komplette Obertonreihe verwendet wird. Dadurch hat man sämtliche rationalen Intervalle zur Verfügung. Dementsprechend kommt den mikrotonalen Klängen eine große Bedeutung zu. Die Tonschritte können viel kleiner als in der traditionellen Musik werden - bis hin zur Wahrnehmungsgrenze und in der Theorie auch darüber hinaus.<br />Da es eine größere Vielfalt von Intervallen gibt, existieren neuartige Leitöne und damit neuartige Kadenzen. Die Analyse dieser Kadenzen bildet den größten Teil der Arbeit. Zuerst wird gezeigt, wie solche Kadenzen aufgebaut sind, und dass sie von jedem Subsystem - die Subsysteme lösen in Schulers Theorie die Tonarten aus der traditionellen Musik ab - in jedes Subsystem existieren.<br />Dann werden aus den Kadenzen Schleifen gebildet. Das sind Abfolgen von Kadenzen, die wieder zum Ausgangsakkord zurückführen und daher endlos weiterlaufen können. Sie sind ein wichtiges Element in Schulers Modell.<br />In der Fraktalen Tonalität kann der Komponist Tonleitern nach seinen Vorstellungen konstruieren. Mit den Konstruktionsvorschriften kann man die herkömmlichen siebentönigen Tonleitern aus der reinen Stimmung erhalten, aber man muss sich nicht darauf beschränken, sondern hat eine viel größere Auswahl zur Verfügung. Die Erstellung und die Analyse einer zwölftönigen Tonleiter mit Mikrointervallen bilden den Abschluss der Arbeit.<br />

In this thesis we analyse the music theory "fractal tonality" that the composer Thomas Herwig Schuler presented in his dissertation.<br />The goal was to find underlying mathematical structures. A main difference to the traditional music is, that all overtones are used.<br />Thus every rational intervals are available to the composer and microtonal sounds are very important. The steps between tones can be very small - to the perception threshold and in theory even beyond that.<br />Since there is a bigger variety of intervals, there are new leading tones and thus new cadences. The analysis of these cadences is the main part of this work. First we see how this cadences are built. There are cadences from each subsystem to each subsystem. Those subsystems replace the keys in Schuler's theory.<br />We then build loops out of cadences. They are succesions of cadences that lead back to the starting chord. Thus they can continue endlessly.<br />They are an important element of Schuler's model.<br />In the fractal tonality, the composer can build scales according to his wishes. With the construction rules for the scales one can yield the usual seven-tone-scales of the just intonation, but it is not necessary to stick to them. There is a much bigger choice available. The construction and analysis of a twelve-tone-scale form the conclusion of this thesis.