Valuations on convex and log-concave functions

Abstract

Eine Funktion Z, welche auf einem Funktionenraum S definiert ist und Werte in einer abelschen Halbgruppe annimmt, ist eine Bewertung, wenn Z(u\vee v)+Z(u\wedge v)=Z(u)+Z(v) für alle u,v\in S erfüllt ist, für welche auch u\vee v, u\wedge v\in S. Hierbei stellen u\vee v und u\wedge v das punktweise Maximum und Minimum von u,v\in S dar. In dieser Arbeit werden Bewertungen auf dem Raum CV aller unterhalbstetigen, koerziven, konvexen Funktionen u:R n\to(-\infty,+\infty], sodass u\not\equiv +\infty, studiert und klassifiziert. Weiters werden Bewertungen auf dem dazugehörigen Raum logarithmisch konkaver Funktionen, LC, betrachtet. Dabei werden aus dem Gebiet der Konvexgeometrie bekannte Operatoren von den konvexen Körpern auf CV bzw. LC verallgemeinert. Insbesondere liegt der Fokus nicht nur auf reellwertigen Bewertungen, sondern auch auf Bewertungen, welche einer Funktion ein Maß oder einen konvexen Körper zuordnen. Einige Resultate dieser Arbeit stammen aus gemeinsamen Arbeiten mit Andrea Colesanti und Monika Ludwig.

A function Z defined on a function space S and taking values in an abelian semigroup is called a valuation if Z(u\vee v)+Z(u\wedge v)=Z(u)+Z(v) for all u,v\in S such that u\vee v, u\wedge v\in S. Here, u\vee v and u\wedge v denote the pointwise maximum and minimum of u,v\in S. In this thesis, valuations on the space CV of all lower semi-continuous, coercive, convex functions u:R n\to(-\infty,+\infty] such that u\not\equiv +\infty are studied and classified. Furthermore, valuations on the corresponding space of log-concave functions, LC, are considered. Thereby, well-known operators from convex geometry are generalized from convex bodies to CV and LC, respectively. In particular, the focus is not only on real-valued valuations, but also on valuations that assign to a function a measure or a convex body. Some results of this thesis are joint work with Andrea Colesanti and Monika Ludwig.