Iterierte Defektkorrektur für explizite und implizite Anfangswertprobleme erster und zweiter Ordnung

Abstract

Aufbauend auf bisher geleisteten Arbeiten auf dem Gebiet der iterierten Defektkorrektur, welche ausschließlich explizite Differentialgleichungen behandeln, wird eine Erweiterung dieser Idee auf bisher nicht betrachtete explizite sowie implizite Anfangswertprobleme erster und zweiter Ordnung mit allen drei Defektarten (klassischer, Integralmittel- und interpolierter Defekt) präsentiert. Der Schwerpunkt bei Anfangswertproblemen 2. Ordnung liegt in der Erstellung von Verfahren ohne Rückführung auf ein System von Differentialgleichungen 1.<br />Ordnung. Für ausgewählte explizite und implizite Defektkorrekturverfahren sind Konvergenzbeweise beruhend auf "lokalen Überlegungen" ausgeführt.<br />Weitere zentrale Punkte sind die Bestimmung und Analyse der Fixpunktverfahren, welche (verallgemeinerte) Kollokationsverfahren darstellen. Für eine Auswahl dieser Fixpunktverfahren sind die zugehörigen Konvergenzbeweise ausgeführt.<br />Ein kurzes Kapitel zeigt anhand der Analyse des Verfahrens von Heun und eines Predictor-Corrector-Verfahrens für Differentialgleichungen 2.<br />Ordnung, dass Predictor-Corrector-Ver-fahren als (diskrete) Defektkorrekturverfahren interpretiert werden können.<br />Als Abschluss zeigt die Arbeit die Grenzen der Defektkorrektur für Integralmittel- und interpolierten Defekt auf und gibt mit der Anwendung der Defektkorrektur auf die (eindimensionale) Wärmeleitungs- und Wellengleichung einen Ausblick auf die Behandlung von partiellen Differentialgleichungen mittels Defektkorrektur.<br />

Based on previous works in the field of iterated defect correction, which treated explicit initial value problems only, this thesis expands these methods and applies them to untreated explicit as well as implicit first and second order initial value problems with the three different defects (classical, with quadrature and with interpolation). For second order initial value problems the focus is on methods avoiding reduction to a system of first order differential equations. Convergence proofs based on 'local considerations' of selected explicit and implicit defect correction methods are presented.<br />Other central topics are the determination and analysis of the fixed point methods, which are (generalized) collocation methods. For some of these fixed point methods convergence proofs are presented.<br />Using the analysis of Heun's method and a predictor corrector method for second order differential equations shows that predictor corrector methods may be interpreted as (discrete) defect correction methods.<br />Finally, the limitations of defect correction with quadrature and interpolation are demonstrated. By applying the defect correction method to the (one dimensional) heat and wave equation an outlook on the treatment of partial differential equations by means of defect correction is given.