Models with oscillator terms in noncommutative quantum field theory

Abstract

Der Hauptfokus dieser Dissertationsarbeit liegt auf nichtkommutativen Modellen mit Oszillatortermen in der Wirkung. Das historisch gesehen erste dieser Modelle ist das erfolgreiche Grosse-Wulkenhaar (G.W.) Modell, von welchem bereits gezeigt wurde, dass es zu allen Ordnungen der Störungstheorie renormierbar ist.<br />Bemerkenswerterweise löst es außerdem das Landau Geist Problem.<br />In einem ersten Schritt haben wir das G.W. Modell direkt auf Eichtheorien verallgemeinert, wobei die Wirkung BRS invariant ist und die guten dämpfenden Eigenschaften der Skalartheorie beibehält, indem es denselben Propagator nutzt, den sogenannten Mehler Kern. Um manche aufwändigere Einschleifenrechnungen bewältigen zu können, haben wir ein Mathematica Paket programmiert, welches in der Lage ist, Feynman Graphen mit vielen Termen analytisch zu berechnen. Das Ergebnis dieser Betrachtungen war, dass neue Terme, die ursprünglich nicht in der Wirkung vorhanden waren, entstehen, was uns zu dem Schluss führte, dass wir besser von einer Theorie wegstarten sollten bei der diese Terme bereits eingebaut sind.<br />Glücklicherweise gibt es eine Wirkung die diese vollständige Menge von Termen enthält. Sie kann erhalten werden, indem man ein Eichfeld an das Skalarfeld der G.W. Wirkung koppelt und dann Letzteres ausintegriert.<br />Auf diese Art und Weise ``induziert'' man eine Eichfeldtheorie, welche deswegen Induzierte Eichfeldtheorie genannt wird. Trotz des Vorteils, dass sie per Konstruktion eichinvariant ist, enthält sie auch einige unphysikalische Terme, welche linear im Eichfeld sind.<br />Vorteilhafterweise konnten wir diese Terme durch eine Eichung, die für diesen Zweck konstruiert wurde, loswerden. In dieser Eichung konnten wir wieder den Mehler Kern als Propagator für das Eichfeld etablieren.<br />Weiters schafften wir es, den Geistpropagator zu berechnen, was sich als sehr aufwändig herausstellte.<br />Schließlich war uns deswegen die Möglichkeit gegeben, mit den ersten Schleifenrechnungen anzufangen, welche auch das erwartete Verhalten zeigten. Der nächste Schritt ist die Renormierbarkeit des Modells zu zeigen, wobei einige Hinweise in diese Richtung auch gegeben werden.<br />

The main focus of this Ph.D. thesis is on noncommutative models involving oscillator terms in the action. The first one historically is the successful Grosse-Wulkenhaar (G.W.) model which has already been proven to be renormalizable to all orders of perturbation theory.<br />Remarkably it is furthermore capable of solving the Landau ghost problem.<br />In a first step, we have generalized the G.W. model to gauge theories in a very straightforward way, where the action is BRS invariant and exhibits the good damping properties of the scalar theory by using the same propagator, the so-called Mehler kernel. To be able to handle some more involved one-loop graphs we have programmed a powerful Mathematica package, which is capable of analytically computing Feynman graphs with many terms. The result of those investigations is that new terms originally not present in the action arise, which led us to the conclusion that we should better start from a theory where those terms are already built in.<br />Fortunately there is an action containing this complete set of terms. It can be obtained by coupling a gauge field to the scalar field of the G.W. model, integrating out the latter, and thus ``inducing'' a gauge theory. Hence the model is called Induced Gauge Theory. Despite the advantage that it is by construction completely gauge invariant, it contains also some unphysical terms linear in the gauge field.<br />Advantageously we could get rid of these terms using a special gauge dedicated to this purpose. Within this gauge we could again establish the Mehler kernel as gauge field propagator. Furthermore we where able to calculate the ghost propagator, which turned out to be very involved.<br />Thus we were able to start with the first few loop computations showing the expected behavior. The next step is to show renormalizability of the model, where some hints towards this direction will also be given.<br />