Hawking radiation in eternal black hole geometries

Abstract

Diese Diplomarbeit behandelt Quantenfeldtheorie in nicht-flachen Hintergrundgeometrien, wobei im Speziellen der Unruh- und der Hawking-Effekt untersucht werden. Der Unruh-Effekt besagt im Wesentlichen, dass ein gleichmäßig beschleunigter Beobachter im Minkowski-Raum den Minkowski-Vakuum-Zustand als ein thermisches Bad wahrnimmt. Der Hawking-Effekt hingegen prognostiziert ein thermisches Spektrum der Strahlung, welche von schwarzen Löchern aufgrund quantenmechanischer Effekte emittiert wird. Die Behandlung des Letzteren (in der sphärisch reduzierten Schwarzschild Geometrie) stellt sich dabei aufgrund der konformen Invarianz der masselosen Klein-Gordon-Gleichung in 1+1 Dimensionen als besonders einfach dar. In dieser Arbeit wird Unruhs Resultat mittels analytischer Fortsetzung der Moden über den Horizont hergeleitet. Im Weiteren wird gezeigt, dass das Minkowski-Vakuum zwei charakteristische Eigenschaften von thermischen Zuständen besitzt: Zum einen stellt sich die entsprechende Dichtematrix (mittels einer partiellen Spurbildung über unbeobachtbare Freiheitsgrade) als thermische Dichtematrix heraus, d.h. ihre Einträge folgen einer Bose-Einstein Verteilung. Zum anderen zeigt sich, dass die Zweipunktfunktion des skalaren Feldes in Rindler- (Schwarzschild-) Koordinaten eine Periodizität in der imaginären Zeit erfüllt, wobei die Periode der inversen Temperatur entspricht.<br />Besonderes Augenmerk wird in der Folge auf die Zeitorientierung der entsprechenden Gleichzeitflächen gelegt. Die Verwendung des Killing-Vektors als Zeitrichtung ergibt bemerkenswerterweise ein Verschwinden der Unruh-Strahlung (wie auch der Hawking-Strahlung im Schwarzschild Fall). Dies wirft die Frage nach einer Änderung der Zeitorientierung der anderen asymptotischen Region der Schwarzschildgeometrie auf, da es sich bei diesen um (klassisch) vollständig kausal entkoppelte Bereiche handelt.<br />

This diploma thesis treats quantum field theory on non-flat background geometries. Especially the Unruh and Hawking effects are considered. The essence of the Unruh effect is that a constantly accelerated observer in Minkowski space will perceive the ordinary Minkowski vacuum state as being a thermal bath. The Hawking effect predicts a thermal spectrum of the radiation, which is emitted by a black hole due to quantum mechanical effects. The analysis of the latter turns out to be particularly easy because of the conformal invariance of the massless Klein-Gordon field equation in 1+1 dimensions. In this work Unruh's finding is rederived using his method of analytic continuation of the Rindler modes across the horizons. In the following we show that the Minkowski vacuum state satisfies two characteristic features of a thermal state: firstly, we realize that the corresponding density matrix (via a partial trace over unobservable degrees of freedom) is, in fact, a thermal density matrix, i.e. its entries follow a Bose-Einstein distribution; and secondly, we observe that the two point function of the scalar field, written in terms of Rindler- (Schwarzschild-) coordinates, satisfies a certain periodicity in imaginary time, where the period corresponds to the inverse of the temperature. In addition, special attention is paid to the time orientation of the corresponding equal time slicings. Usage of the Killing vector as direction of time yields a remarkable result, namely the cessation of the Unruh radiation (and also of the Hawking radiation in the Schwarzschild geometry). This brings up the question of a different time orientation in the other asymptotic region of the Kruskal spacetime, since these are - in a classical sense - causally completely decoupled.