Aktive Dämpfung von Balkenschwingungen mit Hilfe eines longitudinalen Piezoaktors

Abstract

Die vorliegende Arbeit behandelt die aktive Dämpfung von lateralen Schwingungen eines einseitig eingespannten Balkens. Dazu wird eine Saite im Inneren des Balkens angeordnet, die einerseits mit dem freien Ende des Balkens und andererseits mit einem Piezoaktor verbunden ist. Mit Hilfe des Piezoaktors wird die Kraft, die auf den Balken wirkt, verändert. Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems wird die nichtlineare Balkentheorie nach Bernoulli-Euler verwendet.<br />Zunächst wird die Methode der axialen Geschwindigkeitsrückführung für die Kraft in der Saite angewendet. Die zeitlich veränderliche Kraft in der Saite führt zu einem zeitvarianten Anteil der Biegesteifigkeit des Balkens, weshalb diese Art der Regelung auch als parametrische Regelung bezeichnet wird. Mit Hilfe von numerischen Ergebnissen wird gezeigt, dass die Dämpfungswirkung aufgrund der Regelung bei großen Auslenkungen des Balkens am größten ist, jedoch rasch mit sinkender Balkenauslenkung abnimmt.<br />Als Verbesserungsmöglichkeit wird eine zustandsabhängige Verstärkung, basierend auf der reziproken kinetischen und potentiellen Energie des Balkens eingeführt. Zur Verifikation der numerischen Ergebnisse wurde ein Versuchsstand aufgebaut. Ein Vergleich der numerischen Ergebnisse mit den Messergebnissen zeigt eine sehr gute Übereinstimmung. Zur Quantifizierung der Dämpfungswirkung wird die Lehrsche Dämpfung der lateralen Balkenschwingung aus den Messdaten berechnet. Es zeigt sich, dass mit der zustandsabhängigen Verstärkung die Lehrsche Dämpfung etwa das 4.8-fache der Materialdämpfung beträgt. Als Alternative dazu wird die Dämpfungswirkung durch eine Berechnung der Lebensdauer des Balkens nach Palmgren-Miner und Haibach bestimmt. Ein Vergleich der berechneten Lebensdauern mit und ohne Regelung zeigt, dass eine Erhöhung der Balkenlebensdauer um das 4-fache durch die Regelung mit zustandsabhängiger Verstärkung erreicht werden kann.<br />

This thesis deals with active damping of lateral vibrations of a cantilever beam. A string is located inside a tubular beam, connected to the tip of the beam at one end and to an piezoelectric actuator on the other end. An elongation of the actuator results in a variation of the axial force applied to the beam. Nonlinear equations of motion are derived using the Bernoulli-Euler beam theory. As a first approach, the concept of axial velocity feedback for the force in the string is applied. This results in a time-dependent component of the bending stiffness, and thus, this method is referred to as parametric control.<br />The control law works most efficient for large vibration amplitudes but the artificial damping decreases very fast with decreasing beam bending displacements.<br />To improve this behaviour, a state-dependent amplification is introduced based on the reciprocal kinetic and potential energy of the beam. A test rig was built to verify the numerical results. A comparison of the experimental and numerical results show a good agreement. To quantify the efficiency of the control laws, the damping ratio of the lateral beam vibrations is calculated. With state-dependent amplification the damping ratio is about 4.8-times higher compared to the case with material damping only. Alternatively, the endurance limit of the beam is calculated according to the theory of Palmgren-Miner and Haibach. It is shown that with the state-dependent amplification the endurance-limit of the beam is about 4-times higher than without control.