Quantum corrections to thermodynamic properties in the large Nf limit of the quark gluon plasma

Abstract

The theoretical study of the quark gluon plasma gains increasinginterest as particle accelerators like the SPS, RHIC, or the currentlybuilt LHC will reach sufficiently high energy densities in heavy ioncollisions that allow us to probe this new state of matterexperimentally. Straightforward application of quantum field theory athigh temperatures fails in a perturbative expansion in the couplingconstant, and despite some effort during the last decades to improve thesituation, so far quantitative theoretical knowledge about the phasetransition merely comes from lattice simulations. Lattice simulations onthe other hand fail for a deconfined quark-gluon plasma at large quarkchemical potential and small temperatures which is expected to be foundin the core of dense stars. Large N_{f} QCD - that is quantumchromodynamics with large number of quark flavors - allows one tocalculate thermodynamic properties like the interaction contribution ofthermal pressure or entropy exactly in the effective coupling \geff^{2}\propto g^{2}N_{f} for all temperatures T and chemical potentials\mu _{q}. This makes large N_{f} QCD an ideal testing ground for variousapproximation methods.In this work we present the exact large N_{f} NLO calculation of thethermal interaction pressure in the whole T-\mu _{q}-plane where thepresence of the Landau pole is negligible numerically. For small valuesof the coupling we compare our results to existing perturbative resultsin the literature, in particular the recent calculation by Vuorinen forfinite temperature and chemical potential or an older calculation byFreedman and McLerran for zero temperature and high chemical potential.Our numerical accuracy allows us to verify and even improve some of theexisting perturbative coefficients, and to predict new coefficients tothe sixth order in the coupling numerically that have not beencalculated analytically yet. For larger couplings we determine whereperturbation theory ceases to be applicable. At zero chemical potentialwe calculate linear and non-linear quark number susceptibilities. Weshow that the moderate scaling behavior suggested by the quark numbersusceptibilities breaks down rather abruptly at \mu _{q}\gtrsim \pi T,but that this non-perturbative effect in \mu _{q} can still bereproduced well by the calculation by Vuorinen for small couplings andfinite T. Only for T\ll \mu _{q} also this approach breaks down and weenter the range of a so-called non-Fermi liquid, which in contrast to aclassical Fermi liquid is dominated by long-range quasi-statictransverse gauge-boson interactions. In this limit, we complete thepreviously known leading T\ln T^{-1} contribution to the specific heat,and also to go beyond this order to find a series involving anomalousfractional powers T^{(3+2n)/3} caused by dynamical screening. Wecalculate their coefficients analytically up to order T^{7/3} and findthat these contributions indeed determine the leading anomalouscontribution in full QED and QCD (i.e. at finite N_{f}).

The theoretical study of the quark gluon plasma gains increasing interest as particle accelerators like the SPS, RHIC, or the currently built LHC will reach sufficiently high energy densities in heavy ion collisions that allow us to probe this new state of matter experimentally. Straightforward application of quantum field theory at high temperatures fails in a perturbative expansion in the coupling constant, and despite some effort during the last decades to improve the situation, so far quantitative theoretical knowledge about the phase transition merely comes from lattice simulations. Lattice simulations on the other hand fail for a deconfined quark-gluon plasma at large quark chemical potential and small temperatures which is expected to be found in the core of dense stars. Large N_{f} QCD - that is quantum chromodynamics with large number of quark flavors - allows one to calculate thermodynamic properties like the interaction contribution of thermal pressure or entropy exactly in the effective coupling \geff ^{2}\propto g^{2}N_{f} for all temperatures T and chemical potentials \mu _{q}. This makes large N_{f} QCD an ideal testing ground for various approximation methods. In this work we present the exact large N_{f} NLO calculation of the thermal interaction pressure in the whole T-\mu _{q}-plane where the presence of the Landau pole is negligible numerically. For small values of the coupling we compare our results to existing perturbative results in the literature, in particular the recent calculation by Vuorinen for finite temperature and chemical potential or an older calculation by Freedman and McLerran for zero temperature and high chemical potential. Our numerical accuracy allows us to verify and even improve some of the existing perturbative coefficients, and to predict new coefficients to the sixth order in the coupling numerically that have not been calculated analytically yet. For larger couplings we determine where perturbation theory ceases to be applicable. At zero chemical potential we calculate linear and non-linear quark number susceptibilities. We show that the moderate scaling behavior suggested by the quark number susceptibilities breaks down rather abruptly at \mu _{q}\gtrsim \pi T, but that this non-perturbative effect in \mu _{q} can still be reproduced well by the calculation by Vuorinen for small couplings and finite T. Only for T\ll \mu _{q} also this approach breaks down and we enter the range of a so-called non-Fermi liquid, which in contrast to a classical Fermi liquid is dominated by long-range quasi-static transverse gauge-boson interactions. In this limit, we complete the previously known leading T\ln T^{-1} contribution to the specific heat, and also to go beyond this order to find a series involving anomalous fractional powers T^{(3+2n)/3} caused by dynamical screening. We calculate their coefficients analytically up to order T^{7/3} and find that these contributions indeed determine the leading anomalous contribution in full QED and QCD (i.e. at finite N_{f}).

Das theoretische Studium des Quark-Gluon Plasmas gewinnt immermehr an Bedeutung seit Teilchenbeschleuniger wie das SPS, der RHIC, oderder sich im Bau befindliche LHC die erforderlichen hohen Energiedichtenin Schwerionenkollisionen erreichen, die es erlauben, diesen neuenMateriezustand experimentell zu untersuchen. Einfache Anwendungen derQuantenfeldtheorie im Rahmen einer störungstheoretischen Entwicklungnach der Kopplungskonstante versagen bei hohen Temperaturen, und trotzeifriger Bemühungen, die Situation in den Griff zu bekommen, haben wirquantitative theoretische Aussagen über den Phasenübergang nur vonGittersimulationen. Diese wiederum versagen für ein Quark-Gluon Plasmabei hohem chemischem Potential und niedrigen Temperaturen, wie man es imKern von dichten Sternen vermutet. Large-N_{f}-QCD - das istQuantenchromodynamik (QCD) mit einer großen Zahl von Quark-Sorten(number of quark flavors - N_{f}) - erlaubt es, Wechselwirkungseffektevon thermodynamischen Größen wie dem thermischen Druck oder der Entropieexakt in der effektiven Kopplung \geff ^{2}\propto g^{2}N_{f} für alleTemperaturen T und chemische Potentiale \mu _{q} zu berechnen. Diesmacht Large N_{f} QCD zu einem idealen Testwerkzeug für verschiedeneNäherungsmethoden.In der vorliegenden Arbeit präsentieren wir das exakte Large-N_{f}Resultat für den thermischen Wechselwirkungsdruck in der komplettenT-\mu _{q}-Ebene in einem Bereich, in dem der Einfluss durch denLandau-Pol numerisch vernachlässigt werden kann. Für kleine Werte derKopplung vergleichen wir unser Resultat mit existierendenstörungstheoretischen Ergebnissen in der Literatur, einschließlich deraktuellen Berechnung des Drucks durch Vuorinen für endliche Temperaturund chemisches Potential sowie einer älteren Rechnung von Freeman undMcLerran für verschwindende Temperatur und hohes chemisches Potential.Unsere numerische Genauigkeit erlaubt uns, existierendestörungstheoretische Koeffizienten zu verifizieren und zum Teil sogar zuverbessern, und auch störungstheoretische Koeffizienten zur sechstenOrdnung in der Kopplung numerisch zu bestimmen, die analytisch bislangnoch nicht berechnet wurden. Für verschwindendes chemisches Potentialberechnen wir lineare und nicht-lineare Quarkzahl-Suszeptibilitäten. Wirzeigen, dass das moderate Skalierungsverhalten, das durch dieQuarkzahl-Suszeptibilitäten nahegelegt wird, ziemlich abrupt bei \mu_{q}\gtrsim \pi T zusammenbricht, aber dass dieser nicht-pertubativeEffekt in \mu _{q} immer noch in guter Näherung durch die Ergebnisse vonVuorinen bei kleinen Kopplungen und endlichem T beschrieben wird. Nurfür T\ll \mu _{q} versagt auch dieser Zugang, und wir kommen in denBereich der sogenannten Non-Fermi-Flüssigkeit, die im Gegensatz zurklassischen Fermi-Flüssigkeit von langreichweitigen, quasistatischentransversalen Eichbosonen dominiert wird. In diesem Limes können wirnicht nur den bereits bekannten führenden T\ln T^{-1} Beitrag zurspezifischen Wärme vervollständigen, sondern auch über die führendeOrdnung eine störungstheoretische Reihe mit anomalen gebrochene PotenzenT^{(3+2n)/3}, die durch dynamische Abschirmung verursacht werden,angeben. Wir berechnen deren Koeffizienten analytisch bis zur OrdnungT^{7/3} und finden, dass diese tatsächlich das führende anomaleVerhalten der vollen QED und QCD bestimmen (also bei endlichem N_{f}).

Das theoretische Studium des Quark-Gluon Plasmas gewinnt immer mehr an Bedeutung seit Teilchenbeschleuniger wie das SPS, der RHIC, oder der sich im Bau befindliche LHC die erforderlichen hohen Energiedichten in Schwerionenkollisionen erreichen, die es erlauben, diesen neuen Materiezustand experimentell zu untersuchen. Einfache Anwendungen der Quantenfeldtheorie im Rahmen einer störungstheoretischen Entwicklung nach der Kopplungskonstante versagen bei hohen Temperaturen, und trotz eifriger Bemühungen, die Situation in den Griff zu bekommen, haben wir quantitative theoretische Aussagen über den Phasenübergang nur von Gittersimulationen. Diese wiederum versagen für ein Quark-Gluon Plasma bei hohem chemischem Potential und niedrigen Temperaturen, wie man es im Kern von dichten Sternen vermutet. Large-N_{f}-QCD - das ist Quantenchromodynamik (QCD) mit einer großen Zahl von Quark-Sorten (number of quark flavors - N_{f}) - erlaubt es, Wechselwirkungseffekte von thermodynamischen Größen wie dem thermischen Druck oder der Entropie exakt in der effektiven Kopplung \geff ^{2}\propto g^{2}N_{f} für alle Temperaturen T und chemische Potentiale \mu _{q} zu berechnen. Dies macht Large N_{f} QCD zu einem idealen Testwerkzeug für verschiedene Näherungsmethoden. In der vorliegenden Arbeit präsentieren wir das exakte Large-N_{f} Resultat für den thermischen Wechselwirkungsdruck in der kompletten T-\mu _{q}-Ebene in einem Bereich, in dem der Einfluss durch den Landau-Pol numerisch vernachlässigt werden kann. Für kleine Werte der Kopplung vergleichen wir unser Resultat mit existierenden störungstheoretischen Ergebnissen in der Literatur, einschließlich der aktuellen Berechnung des Drucks durch Vuorinen für endliche Temperatur und chemisches Potential sowie einer älteren Rechnung von Freeman und McLerran für verschwindende Temperatur und hohes chemisches Potential. Unsere numerische Genauigkeit erlaubt uns, existierende störungstheoretische Koeffizienten zu verifizieren und zum Teil sogar zu verbessern, und auch störungstheoretische Koeffizienten zur sechsten Ordnung in der Kopplung numerisch zu bestimmen, die analytisch bislang noch nicht berechnet wurden. Für verschwindendes chemisches Potential berechnen wir lineare und nicht-lineare Quarkzahl-Suszeptibilitäten. Wir zeigen, dass das moderate Skalierungsverhalten, das durch die Quarkzahl-Suszeptibilitäten nahegelegt wird, ziemlich abrupt bei \mu _{q}\gtrsim \pi T zusammenbricht, aber dass dieser nicht-pertubative Effekt in \mu _{q} immer noch in guter Näherung durch die Ergebnisse von Vuorinen bei kleinen Kopplungen und endlichem T beschrieben wird. Nur für T\ll \mu _{q} versagt auch dieser Zugang, und wir kommen in den Bereich der sogenannten Non-Fermi-Flüssigkeit, die im Gegensatz zur klassischen Fermi-Flüssigkeit von langreichweitigen, quasistatischen transversalen Eichbosonen dominiert wird. In diesem Limes können wir nicht nur den bereits bekannten führenden T\ln T^{-1} Beitrag zur spezifischen Wärme vervollständigen, sondern auch über die führende Ordnung eine störungstheoretische Reihe mit anomalen gebrochene Potenzen T^{(3+2n)/3}, die durch dynamische Abschirmung verursacht werden, angeben. Wir berechnen deren Koeffizienten analytisch bis zur Ordnung T^{7/3} und finden, dass diese tatsächlich das führende anomale Verhalten der vollen QED und QCD bestimmen (also bei endlichem N_{f}).