Review of stochastic finite-element approaches and assessment of their applicability to wood-based products

Abstract

Das natürliche Wachstum von Holz führt zu nicht konstanten Dichteverteilungen und unterschiedlichen Astgruppen in Bauholz, das in den verschiedensten Formen, zum Beispiel als Konstruktionsvollholz (KVH), Brettschichtholz (BSH) oder Brettsperrholz, genutzt wird. Die aktuell angewandten Bemessungs- und Berechnungsverfahren basieren jedoch hauptsächlich auf deterministischen Konzepten und empirisch hergeleiteten Materialparametern, die die in der Realität auftretende Streuung der Materialeingangswerte nicht ausreichend berücksichtigen.<br />Das Resultat sind teilweise unwirtschaftliche Konstruktionen, die aber trotz hoher Sicherheitsbeiwerte die Gebrauchstauglichkeit nicht unbedingt gewährleisten.<br />Daher ist das Ziel dieser Arbeit, den Einfluss der räumlich zufällig variierenden Steifigkeit eines Brettes auf die Gesamtsteifigkeit des Endprodukts BSH zu quantifizieren. Die zufälligen Materialeigenschaften werden durch Zufallsvariablen, -prozesse und -felder modelliert. Um daraus die mechanischen Eigenschaften von BSH ableiten zu können, werden unterschiedliche Verfahren der so genannten Stochastischen Finite Elemente Methode (SFEM) vorgestellt, die hauptsächlich in den letzten drei Jahrzehnten entwickelt wurden. Zur Berechnung des Mittelwerts und der Standardabweichung der Struktureigenschaften eignen sich vor allem die Monte Carlo Simulation, die "Perturbation" Methode basierend auf der Taylorreihenentwicklung und die Spektrale Stochastische Finite Elemente Methode. Diese Methoden werden mit der Mittelpunktsdiskretisierung und der Karhunen-Loève Reihenentwicklung kombiniert und auf BSH mit bis zu vier Brettlagen angewendet. Schlussendlich wird in einer Parameterstudie die Genauigkeit der Methoden verglichen, und vor allem der oben genannte Einfluss einzelner Bretter auf die Gesamtsteifigkeit verdeutlicht.<br />An den Ergebnissen kann man sehen, dass die Monte Carlo Simulation zwar eine flexible und genaue Methode, dafür aber auch sehr rechenintensiv ist. Im Gegensatz dazu benötigen die "Perturbation" Methode und die Spektrale Stochastische Finite Elemente Methode einen Bruchteil an Rechenzeit. Während mit letzterer genaue Resultate für einzelne Bretter gewonnen werden können, liefert die "Perturbation" Methode vor allem bei mehreren Brettern gute Ergebnisse.<br />Zusammenfassend lässt sich sagen, dass mit der Stochastischen Finite Elemente Methode sehr effizient und genau auf die Streuung der mechanischen Eigenschaften von holzbasierten Produkten geschlossen werden kann. Daher liegt es nahe, dass die darauf basierenden Resultate stark an Bedeutung gewinnen werden, sei es bei der Sortierung von Bauholz, der Optimierung von Holzprodukten oder in zukünftigen Bemessungsansätzen für Holzkonstruktionen.<br />

Considering timber elements, a high variability of their effective properties is induced by uncertain density distributions and the existence of different knot groups. However, dimensioning practice and many existing design rules for glued-laminated-timber (GLT) are still based on deterministic calculation methods. The stochastic aspect is only considered by empirically determined parameters, which often leads to unsatisfactory results in terms of efficiency and reliability of wood-based products and timber structures.<br />This thesis aims at giving an idea of how the spatial stiffness variability of timber influences the performance of wood-based products, in this case GLT. The variability is captured using the framework of random variables, processes, and fields. To place these uncertain quantities into a mechanical context, different Stochastic-Finite-Element Methods (SFEM), which have been mainly developed within the last three decades, are reviewed. For obtaining the mean value and standard deviation of the structural response, the most promising approaches are the Monte Carlo simulation, the Perturbation Method and the Spectral-Stochastic-Finite-Element Method. The application of these methods to a GLT beam with up to four laminations is presented and discussed in detail. Thereby, the random field is approximated either with discrete elements (midpoint method) or by using series expansions (Karhunen-Loève expansion). Finally, in a parameter study the performance of the different approaches is compared and, in particular, the influence of the variability of the "raw" material on the structural response is shown.<br />Well known effects, such as the decrease of the variability of effective properties of GLT with increasing number of laminations, are numerically reproduced and quantified. Moreover, a significant influence of the correlation length, specifying the rate of material-property fluctuation, on the "overall"stiffness is demonstrated.<br />Regarding the different approaches, the Monte Carlo simulation, on the one hand, is an universally applicable method and suitable for obtaining reference results. However, the computational effort is huge compared to the Perturbation- and the Spectral-Stochastic-Finite-Element Method, respectively, which provide results of equal quality, when used in the right context.<br />Summarized, it can be said that the Stochastic-Finite-Element Method is a powerful and valuable tool to gain understanding of the variability of the mechanical behaviour of wood-based products. Results, based on this methods, will become important in many fields, from grading and optimization of wood-based products to engineering design of wooden structures.<br />