On finite time singularities in unsteady marginally separated flows

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Phänomen der marginalen, d. h. lokalen, Ablösung von laminaren Grenzschichtströmungen entlang glatter Oberflächen. Da solche Zustände, in Form von Ablöseblasen, im Allgemeinen als instabil bezüglich gewisser Störungen gelten und daher den Prozess der Transition zur Turbulenz auslösen können, liegt das Hauptaugenmerk hier auf instationären, (lokal) dreidimensionalen Strömungen. Durch die Assoziation der Strömungsablösung mit negativen Werten der Wandschubspannung ist es zielführend die Zeitentwicklung dieser genauer zu Untersuchen. Das dafür notwendige Cauchy Problem wird mittels der Methode der angepassten asymptotischen Entwicklungen aus den Navier-Stokes-Gleichungen bei unendlich hohen Reynoldszahlen hergeleitet.<br />Durch verwenden von Operatorsymbolen und der Dispersionsrelation lässt sich zeigen, dass das Cauchy Problem nicht sachgemäß gestellt ist. Für die deshalb notwendige Regularisierung werden zwei unterschiedliche Methoden gewählt - a) Diskretisierung des Problems und b) Verwenden von Regularisierungsoperatoren. Um die regularisierten Lösungen in das physikalische Konzept einzupassen, werden Terme höherer Ordnung der asymptotischen Entwicklungen des Strömungsfeldes ermittelt, welche zeigen, dass sich die Stromlinienkrümmung in der Grenzschicht in, mit der äußeren Potentialströmung wechselwirkenden Druckstörungen wiederspiegelt. Durch deduktives Einarbeiten dieser in das Grundproblem, kann dann dessen sachgemäße Gestelltheit gezeigt werden.<br />Da das (regularisierte) Cauchy Problem im weiteren Sinne in die Klasse von Reaktions-Diffusions-Gleichungen fällt, wird für gewisse Anfangsbedingungen eine Singularität in endlicher Zeit angenommen, was durch numerische Experimente bestätigt wird. In der Nähe des Entstehungszeitpunkts der Singularität lässt sich weiters eine selbstähnliche Struktur finden, die, wie heuristisch gezeigt wird, sogar eindeutig ist.<br />Der zweite Teil der Arbeit beschreibt in allen Details die verwendeten numerischen Methoden. Dazu werden sogenannte rationale Chebyshev Polynome auf R n definiert, um Kollokationsschemata, basierend auf orthogonalen Projektionen, entwickeln zu können. Als Grundlage werden klassische Konvergenzresultate im L 2 und L {\infty} Sinne für diese neue Klasse von vollständigen Orthogonalsystemen bewiesen. Weiters wird auf die notwendigen Beschränkt- und Kompaktheitseigenschaften der involvierten Operatoren eingegangen.<br />

This study deals with the phenomenon of marginally, i.e. locally separated laminar boundary layer flows along smooth surfaces. Such occurrences, in form of separation bubbles, are generally regarded as unstable with respect to certain perturbations and hence can describe what is known as transition to turbulence. Thus, this treatise is mainly concerned with unsteady, three-dimensional flows.<br />As separation regions can be associated with negative values of the wall shear stress, it is important to study its time evolution. In doing so, we deduce the according Cauchy problem from the Navier-Stokes equations at high Reynolds numbers by applying the method of matched asymptotic expansions. To derive the governing integro-differential equation a new, elegant approach utilizing the Fredholm alternative is presented.<br />Operator symbols and the dispersion relation then prove the general ill-posedness of the Cauchy problem. Therefore, it has to be regularized, which is done by a) discretization and b) using regularizing operators. Numerical calculations show further that, modulo discretization errors, these two methods yield the same solutions. Also, such solutions converge to solutions of the original problem for vanishing regularization.<br />To embed the regularized solutions into the physical concept, higher order terms of the original asymptotic expansions of the flow field are derived. Here the streamline curvature in the boundary layer appears in form of interacting (with the potential flow region) pressure disturbances. By deductively including these in the original problem one can again show its well-posedness.<br />Since the (regularized) problem belongs in principle to the class of reaction-diffusion equations, one can expect, for certain initial conditions, a finite time singularity to occur. This is then confirmed by numerical computations. Furthermore, near the blow-up time one can find a self-similar blow-up profile, which is heuristically shown to be unique.<br />Such singularities indicate the breakdown (i.e. non-uniform validity) of the asymptotic expansions. They also induce new spatio-temporal scales resulting here in a nonlinear "triple-deck" problem, for which the blow-up profile proves to be an initial condition.<br />The second part of this treatise describes in all detail the methods used for setting up the numerical schemes. Here, what are known as rational Chebyshev polynomials are defined on R n, such that one can develop collocation schemes based on orthogonal projections. As a basis, classical convergence results in L 2 and L {\infty} are proved for this new type of complete orthogonal systems. Necessary boundedness and compactness results for the involved operators are presented as well.