Consistency conditions for topological open strings

Abstract

Diese Arbeit konzentriert sich auf einen Teilaspekt der Physik von Membranen, der mit der Tatsache zusammenhängt, dass diese ausgedehnten Objekte ein effektives Superpotential für N=1 supersymmetrische Modelle verursachen.<br /> Das effektive Superpotential kann im Prinzip mit Hilfe von topologischer Stringtheorie berechnet werden, welche einen Teilsektor der vollen Superstringtheorie beschreibt. Zwar konnten im Rahmen von topologischer Stringtheorie zahlreiche exakte (nicht-perturbative) Ergebnisse erzielt werden, doch ist die Miteinbindung von Membranen bis dato nicht ausreichend verstanden, weshalb keine effektive Methode bekannt ist, das Superpotential (außer in wenigen einfachen Beispielen) zu berechnen.<br />In dieser Arbeit wird die mathematische Struktur von topologischen Stringamplituden untersucht, die zu effektiven Superpotentialtermen führen. Wie gezeigt wird, erfüllen die Amplituden Konsistenzrelationen, die Ward-Identitäten und Faktorisierungseigenschaften in der topologischen Stringtheorie entsprechen. Diese Gleichungen stellen eine Erweiterung von Differenzialgleichungen dar, die auf R. Dijkgraaf, E.<br />Verlinde und H. Verlinde, sowie E. Witten zurückgehen, und vervollständigen jene zu einer abzählbaren Menge von sowohl algebraischen Relationen als auch Differentialgleichungen. Die Konsistenzrelationen umfassen die folgenden mathematischen Strukturen: eine A(unendlich)-Algebra, eine topologische Version der Cardy-Relation, welche eine Dualität zwischen offenen und geschlossenen Strings implementiert, und schließlich eine Kreuzungssymmetrie, die die Kopplung von offenen und geschlossenen Strings kontrolliert.<br />

This work concentrates on a particular aspect of D-brane physics, which is related to the fact that these extended objects give rise to an effective superpotential for N=1 supersymmetric field theories. The effective superpotential can be computed, in principle, through topological string theory, which describes a subsector of the full superstring theory. In fact, the framework of topological string theory already allowed to derive several exact (non-perturbative) results; however, the inclusion of D-branes is not sufficiently well understood, so that there exists no effective method to compute the superpotential (apart from specific examples). In this work the mathematical structure of topological string amplitudes, which lead to terms in the effective superpotential, is investigated: It is shown that the amplitudes satisfy consistency conditions, which correspond to Ward identities and factorisation properties in topological string theory. These relations provide an extention of differential equations, found by R. Dijkgraaf, E. Verlinde and H. Verlinde as well as E. Witten, and complete the latter to a countable set of algebraic and differential equations.<br />The consistency conditions comprise an A(infinity) algebra, a topological version of the Cardy condition, i.e., the open-closed string duality, and finally a bulk-boundary crossing symmetry, which controls the coupling of open and closed topological strings.<br />