Gemeinsame Schätzung von B-Spline-Kontrollpunkten und -Kurvenparametern unter Berücksichtigung von Ungleichungsrestriktionen

Abstract

Bedingt durch die Einführung von terrestrischen Laserscannern ändern sich die Auswertestrategien in der Ingenieurgeodäsie von punktweisen zu flächenhaften Ansätzen. Freiformflächen wie B-Splines haben sich als geeignetes Werkzeug zur Modellierung von Laserscanner-Punktwolken erwiesen. Sie bilden die Grundlage für eine flächenhafte Datenanalyse, insbesondere die flächenhafte Deformationsanalyse. Eine Modellierung einzelner Punktwolken mit Hilfe von B-Spline-Flächen wurde bereits von Harmening und Neuner (2015) durchgeführt. Jedoch stellen Harmening und Neuner (2017) fest, dass die dort berechneten Parameter der Beobachtungen (Flächenparameter) die geschätzte B-Spline-Fläche wesentlich beeinflussen. Sie folgern, dass, um einen statistischen Vergleich zwischen zwei B-Spline-Flächen möglich zu machen, eine konsistente Parametrisierung der Flächen notwendig sei. Die Bestimmung von vergleichbaren B-Spline-Flächen soll mit Hilfe einer gemeinsamen Schätzung von Kontrollpunkten und Flächenparametern erfolgen. Um erste Erkenntnisse einer solchen Ausgleichung zu gewinnen, ist das Ziel dieser Arbeit dieses Verfahren zuerst auf die mathematisch einfachere B-Spline-Kurve anzuwenden.Die gemeinsame Ausgleichung führt dazu, dass Ungleichungsrestriktionen für die Kurvenparameter eingeführt werden müssen, um deren Eigenschaft der Monotonie beizubehalten, sowie diese in ihrem Definitionsbereich [0, 1] zu halten. Die Ausgleichung mit Ungleichungsrestriktionen kann in ein lineares Komplementaritätsproblem übergeführt und gelöst werden. Zur Verifikation wird der neu entwickelte Algorithmus auf simulierte Kurven-Datensätze angewandt und mit dem Standardverfahren der Approximation von Kurven (Bureick et al., 2016) und der intrinsischen Parametrisierung (Hoschek, 1988) auf Basis von zwei eingeführten Vergleichswerten verglichen. Ein statistischer Vergleich der Verfahren ist aufgrund mehrfacher Realisierungen einer Kurve möglich.Der neue Algorithmus zeigt eine deutliche Verbesserung des Approximationsergebnisses gegenüber dem Standardverfahren. Meist erweist sich der neu entwickelte Algorithmus auch besser als die Methode der intrinsischen Parametrisierung, insbesondere auf die Güte der geschätzten Kurvenparameter und die kürzere Rechenzeit. Weiter kann festgestellt werden, dass sich durch Hinzunahme von Beobachtungen das Ergebnis einer Kurven-Approximation für den neuen Algorithmus deutlich verbessert. Abschließend kann durch Änderung der verwendeten Diskretisierungsmethode gefolgert werden, dass die Güte der Näherungswerte der Kontrollpunkte und Kurvenparameter wesentlichen Einfluss auf das Ergebnis einer Approximation hat.

Due to the development of terrestrial laser scanners, the evaluation strategies in engineering geodesy are changing from pointwise approaches to area-based ones. Freeform surfaces such as B-splines have proven to be a suitable tool for modelling laser scanner point clouds. They form the basis for areal data analysis, especially areal deformation analysis. A modeling of single point clouds using B-spline surfaces has already been performed by Harmening und Neuner (2015). However, Harmening und Neuner (2017) found out that the parameters of the observations (surface parameters) calculated there have a significant influence on the estimated B-spline surface. They conclude that in order to make a statistical comparison between two B-spline surfaces possible, a consistent parameterization of the surfaces is necessary. The determination of comparable B-spline surfaces should be realized by a joint adjustment of control points and surface parameters. In order to gain first insights of such an adjustment, the aim of this thesis is to apply such a procedure first to the mathematically simpler B-spline curve. The joint adjustment leads to the need to introduce inequality restrictions for the curve parameters in order to maintain their monotony property and to keep them within their [0, 1] definition range. The adjustment with inequality restrictions can be transformed into a linear complementarity problem and solved.For verification, the newly developed algorithm is applied to simulated curve data sets and compared with the standard procedure of approximation of curves (Bureick et al., 2016) and intrinsic parameterization (Hoschek, 1988) on the basis of two introduced comparison values. A statistical comparison of the methods is possible due to multiple realizations of a curve. The new algorithm shows a significant improvement of the approximation results compared to the standard method. In most cases, the newly developed algorithm also proves to be better than the method of intrinsic parameterization, especially with regard to the quality of the estimated curve parameters and the shorter calculation time. Furthermore, it can be stated that the result of a curve approximation is significantly improved by the addition of observations for the new algorithm.Finally, changing the discretization method used, it can be concluded that the quality of the approximate values of the control points and curve parameters have a significant influence on the result of an approximation.