Moonshine in conformal field theory and string theory

Abstract

Moonshine steht für eine überraschende Verbindung zwischen scheinbar unabhängigen Gebieten der Mathematik, nämlich modularen Objekten (Zahlentheorie) und sporadischen Gruppen (Gruppentheorie). Historisch wird John MacKays Beobachtung vom Jahr 1978 als Anfang dieses Gebiets betrachtet, in der er eine Verbindung zwischen der Kleinschen J-Funktion und der Monster Gruppe erkannte. Die genauere Untersuchung von MacKays Beobachtung und der Beweis der ‘Monstrous-Moonshine-Vermutung’ durch Borcherds im Jahr 1992 hat zu der Entwicklung neuer Konzept geführt und zu neuen Einblicken in der Mathematik und der Physik beigetragen. Die Entdeckung von Mathieu Moonshine durch Eguchi, Ooguri und Tachikawa im Jahr 2010, welche eine Verbindung zwischen dem elliptischen Genus von K3 und der größten Mathieu Gruppe herstellte, erneuerte das Interesse an der Untersuchung von Moonshine-Phänomenen. In den darauffolgenden Jahren sind viel weitere Mondschein-Phänomene entdeckt und untersucht worden, was zu neuen überraschenden Einblicken geführt hat.In meiner Arbeit versuche ich auf verschiedene Arten neue Moonshine-Phänomene zu finden. Einerseits untersuche ich, ob es für höher dimensionale Calabi-Yau Manigfaltigkeiten einen Zusammenhang mit Moonshine gibt. Der Zusammenhang wird durch den elliptischen Genus der Mannigfaltigkeiten hergestellt. Die Untersuchung zeigt einige mögliche interessante Verbindungen, insbesondere von 5-dimensionalen Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten zu Mathieu Moonshine. Bei einer genaueren Betrachtung lassen sich diese aber nicht bekräftigen. Ein anderer Zugang ergibt sich durch die Dualität zwischen heterotischem und Typ II String. Hierdurch kann Mathieu Moonshine mit topologischen Invarianten (Gromov-Witten/Gopakumar-Vafa Invarianten) von bestimmten Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten in Zusammenhang gebracht werden. Konkret untersuche ich CHL-Orbifolds von E8 ×E8 heterotischen Kompaktifizierungen auf K3 × T2. In der effektiven 4 dimensionalen Theorie dieser Modelle stehen gewisse gravitative Kopplungen und das Prepotential der Vektormultiplet Moduli im Zusammenhang mit den ‘getwisten’ und ‘getwinten’ ellitpischen Genera von K3. In den dualen Typ II Kompaktifzierungen sind diese Kopplungen und das Prepotential durch die topologischen Invarianten der Calabi-Yau Mannigfaltigkeit bestimmt. Dadurch ergibt sich ein interessanter Zusammenhang zwischen Mathieu Moonshine und den Gromov-Witten/Goparkuma-Vafa Invarianten bestimmter Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten. Des weiteren ist es möglich für bestimmte heterotische CHL Orbifolds die dualen Calabi-Yau Manigfaltigkeiten zu finden und zum Teil explizit zu konstruieren.

Moonshine, which famously started with John MacKays observation in 1978 connecting the Klein-J-function to the Monster group, connects seemingly unrelated fields of mathematics - modular objects (number theory) and sporadic groups (group theory).The precise analysis of the initial observation and its proof by Borcherds in 1992 has led to new concepts and insights both in mathematics and physics. The discovery of Mathieu moonshine by Eguchi, Ooguri and Tachikawa in 2010, linking the elliptic genus of K3 to the largest Mathieu group, brought renewed interest to the research field. Since then many new moonshine phenomena have been found shedding light on ever new surprising connections.In this thesis I search for new moonshine in different ways. I try to connect higher dimensional Calabi-Yau manifolds to moonshine by analysing their elliptic genera. I find some interesting initial results which however cease to hold under closer analysis.In a different approach I make use of heterotic-type II duality to relate Mathieu moonshine to the Gromov-Witten invariants of certain Calabi-Yau threefolds. In particular I study CHL orbifolds of E8 × E8 heterotic string compactifications on K3 × T2. In these models the twisted twining elliptic genera of K3 show up in the gravitational couplings and the vector moduli prepotential of the four dimensional effective theory. In the dual type II compactifications these couplings and the prepotential are governed by the topology (Gromov-Witten/Gopakumar-Vafa invariants) of the Calabi-Yau threefolds the theory is compactified on. In this way the Calabi-Yau manifolds get connected to Mathieu moonshine. For certain CHL orbifolds of the heterotic string one is able to find the dual Calabi-Yau manifolds, in some cases by direct construction.