Rearrangement and Sobolev inequalities via projection averages

Abstract

In der vorliegenden Dissertation wird eine Familie Sobolev-artiger Ungleichungen bewiesen, indem die Längen i–dimensionaler Projektionen des Gradienten einer Funktion passend gemittelt werden. Darüberhinaus wird gezeigt, dass jede dieser neuen Ungleichungen unmittelbar die klassische Sobolev Ungleichung von Aubin und Talenti impliziert und dass innerhalb dieser Familie die stärkste Ungleichung zugleich die einzig affin invariante ist, nämlich die affine Sobolev Ungleichung von Lutwak, Yang und Zhang. Weiters wird die gesamte Familie dieser neuartigen Ungleichungen auf den Raum der Funktionen von beschränkter Variation erweitert, was eine vollständige Charakterisierung aller Gleichheitsfälle erlaubt. Als nächstes werden die zu obigen Sobolev-artigen Ungleichungen gehörigen Polya-Szegö Ungleichungen aufgestellt. Ebenso werden die zugehörigen Polya-Szegö Ungleichungen einer Familie von analytischen Funktionalen, die erst kürzlich von Haberl und Schuster eingeführt wurden, bewiesen. Beide dieser neuen Familien von Ungleichungen beinhalten insbesondere das klassische sowie das von Cianchi, Lutwak, Yang und Zhang eingeführte affine Polya-Szegö Prinzip, weswegen die neuen Ungleichungen der vorliegenden Arbeit eine Verallgemeinerung dieser klassischen Resultate darstellen. Weiters werden alle Gleichheitsfälle dieser neu erhaltenen Ungleichungen im Sinne von Brothers und Ziemer charakterisiert. Schlussendlich wird ein erster Schritt in Richtung eines Beweises Petty Projektionen-artiger Ungleichungen allgemeiner stetiger, (n − 1)–homogener, translationsinvarianter und rotationsequivarianter Minkowski–Bewertung gemacht, indem gezeigt wird, dass das zugehörige Volumsprodukt einen volldimensionalen konvexen Körper als Maximierer besitzt. Mit Hilfe der gleichen Methoden ist es weiters möglich, die zugehörige nicht-polare Problemstellung zu behandeln. Es wird gezeigt, dass das analoge nicht-polare Volumsprodukt volldimensionale konvexe Körper als Minimierer besitzt.

In this thesis, a family of sharp Sobolev-type inequalities is established by averaging the length of i-dimensional projections of the gradient of a function. Moreover, it is shown that each of these new inequalities directly implies the classical Sobolev inequality of Aubin and Talenti and that the strongest member of this family is the only affine invariant one among them - the affine Sobolev inequality of Lutwak, Yang, and Zhang. The entire family of new Sobolev inequalities is extended to functions of bounded variation to also allow for a complete classification of all extremal functions in this case. Next, the corresponding family of Polya-Szegö principles, associated to the aforementioned Sobolev-type inequalities, is established, as well as the Polya-Szegö principles for a family of analytic functionals introduced recently by Haberl and Schuster. Both of these families contain the classical Polya-Szegö principle as well as the affine Polya-Szegö principle by Cianchi, Lutwak, Yang and Zhang as special cases and can therefore be seen as generalizations of the latter ones. Additionally, a complete characterization of the cases of equality in the sense of Brothers and Ziemer is given. Finally, a first step at proving a Petty projection-type inequality for each continuous, (n-1)-homogeneous, translation invariant and rotation equivariant Minkowski valuation is shown, by proving that the associated polar volume product has full dimensional maximizers. Moreover, by the same methods, the non-polar problem for such Minkowski valuations can be dealt with as well. It is shown that the analogous non-polar volume ratio exhibits full dimensional minimizers.