Spectral multiplicity for operators on a Hilbert space

Abstract

As an underlying theory, functional analysis is central to many fields in mathematics and theoretical physics, such as variational calculus or quantum mechanics, and (bounded) linear operators often play a major role. For example in quantum theory, the states can be described as elements of a suitable Hilbert Space, with hermitian linear operators takingthe role of measurements. Similarly, linear differential equations can often be understood as operator equations with a linear differential operator, and solutions can be found by applying functional analysis. This means there is a large benefit in better understanding such operators, and maybe even classifying them.Unfortunately, a unifying theory for general linear operators on Banach spaces has yetto be discovered. However, for the reduced problem of normal bounded linear operators on separable Hilbert spaces this is actually possible. The so called Multiplicity Theory gives a complete classification of such operators according to their spectra and spectral multiplicity, as it extends the finite-dimensional idea of classifying normal matrices by their spectra and spectral multiplicity.This thesis aims to give a (relatively) self-contained introduction to Multiplicity Theory for an interested reader with a basic university education in mathematics. As a capstone,the proof of the multiplicity theorem will be presented, which describes the a fore mentioned classification of normal bounded linear operators on separable Hilbert spaces.

Funktionalanalysis ist ein wichtiges Fundament für viele Gebiete der Mathematik und theoretischen Physik, wobei (beschränkte) lineare Operatoren oft eine zentrale Rollespielen. Beispielsweise werden in der Quantentheorie die Quantenzustände als Elemente eines geeigneten Hilbertraumes interpretiert, während Messungen durch hermitesche Operatoren dargestellt werden. Weiters werden lineare Differentialgleichungen oft als Operatorgleichungen mit einem linearen Differentialoperator verstanden, und Lösungen können mit Hilfe der Funktionalanalysis ermittelt werden. Aufgrund dieser Tatsachen ist ein tieferes Verständnis von solchen Operatoren von großem Nutzen.Leider gibt es bis dato keine allgemeine Theorie, die sämtliche linearen Operatoren auf Banachräumen klassifiziert. Das reduzierte Problem für normale, beschränkte lineare Operatoren auf separablen Hilberträumen hat jedoch in der Tat eine derartige Klassifizierung.Die sogenannte Multiplizitätstheorie beschreibt sämtliche solche Operatoren eindeutig mit Hilfe ihres Spektrums und ihrer spektralen Vielfachheit. Dabei ist die Theorie eine Erweiterung der endlich-dimensionalen Klassifizierung von normalen Matrizen nach ihrem Spektrum und der spektralen Vielfachheit.Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine (soweit möglich) in sich geschlossene Einführung indas Gebiet der Multiplizitätstheorie zu geben, wobei am Ende der Beweis des Satzes über Multiplizitätstheorie steht. Dabei richtet sich diese Arbeit an interessierte Leser_innen mit einer Grundausbildung in Hochschulmathematik.