Edgeworth-Entwicklung von Optionspreisen

Abstract

In der vorliegenden Diplomarbeit werden Edgeworth-Entwicklungen zur approximativen Bestimmung von Optionspreisen europäischer Call- und Put-Optionen im stochastischen Volatilitätsmodell von Steven L. Heston untersucht. Dabei werden die exakten Optionspreise aus dem Heston-Modell mittels Edgeworth-Entwicklungen basierend auf einer Formel von S. Blinnikov und R. Moessner approximiert und die dabei auftretenden impliziten Volatilitätskurven miteinander verglichen. Darüber hinaus erfolgt eine Gegenüberstellung der charakteristischen Funktion des logarithmierten Aktienpreises zur Maturität und trunkierter Reihenentwicklungen der charakteristischen Funktion. Nach einem Überblick über das Black-Scholes-Modell und finanzmathematische Grundbegriffe wird das Heston-Modell vorgestellt. Zusätzlich zur Modelldynamik erfolgt eine Herleitung der Heston-PDE und der charakteristischen Funktionen der beiden "in-the-money" Wahrscheinlichkeiten. Außerdem wird die Gil-Pelaez Fourier-Inversionsformel bewiesen, mit welcher die Preise europäischer Call- bzw. Put-Optionen im Heston-Modell bestimmt werden können. Weiters wird ein allgemeiner Überblick über die Theorie von Edgeworth-Entwicklungen gegeben und anschließend ausgeführt, wie Edgeworth-Entwicklungen zur Approximation von Optionspreisen im Heston-Modell eingesetzt werden können. Abschließend erfolgen numerische Tests und Analysen, in denen die Approximationsmethode für verschiedene Parameter im Heston-Modell untersucht wird. Die Analysen im Rahmen dieser Diplomarbeit haben gezeigt, dass die Preise europäischer Call- und Put-Optionen im Heston-Modell mit dieser Approximationsmethode vergleichsweise schnell und genau bestimmt werden können.

In this thesis, Edgeworth expansions for the approximative determination of European call and put option prices in the stochastic volatility model of Steven L. Heston are examined. For this purpose, the exact option prices arising from the Heston model are approximated by Edgeworth expansions based on a formula by S. Blinnikov and R. Moessner and the implicit volatility curves that arise are compared. In addition, a comparison is made between the characteristic function of the log-stock price at maturity and truncated series expansions of the characteristic function. After an overview of the Black-Scholes model and fundamental financial mathematical concepts, the Heston model is introduced. In addition to the model dynamics, a derivation of the Heston PDE and the characteristic functions of the two “in-the-money” probabilities is provided. Furthermore, the Gil-Pelaez Fourier inversion formula is proved, which can be applied to determine the prices of European call and put options in the Heston model. Additionally, a general overview of Edgeworth expansions as well as possibilities for option price approximations using Edgeworth expansions is given. Finally, numerical tests and analyses are carried out in which the approximation method is examined for various parameters in the Heston model. The analyses within the scope of this thesis have shown that the prices of European call and put options in the Heston model can be determined comparatively quickly and accurately using this approximation method.