Ideals of compact operators

Abstract

Ideale in der Algebra aller beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraumes H in sich sind ein viel studiertes Objekt. Ist H separabel, so sind alle echten Ideale in dem Ideal K(H) der kompakten Operatoren enthalten. Seit einer grundlegenden Arbeit von J.W.Calkin aus 1941 weiß man, dass Ideale in K(H) bijektiv gewissen Räumen monotoner Nullfolgen entsprechen. Von besonderem Interesse in der Spektraltheorie sind Ideale welche zusätzlich mit einer symmetrischen Norm versehen sind, und bezüglich dieser vollständig sind. Solche nennt man „symmetrisch normierte Ideale“. Zum Beispiel denke man an Neumann von Schatten Klassen, die in dem Kontext der Operatortheorie den lp Räumen aus der klassischen Analysis entsprechen. Es war eine lange offene Frage, welche Räume von Nullfolgen bei der Calkin Korrespondenz symmetrisch normierten Ideale entsprechen. Diese wurde erst 2008 in einer Arbeit von N.J. Kalton und F.A. Sukochev beantwortet.In der vorliegenden Diplomarbeit wird der Beweis von Kalton und Sukochev aufgearbeitet, effizienter gestaltet, und in ansprechender Weise präsentiert. Dadurch werden die Hintergründe des Sachverhaltes klarer, und dieses tiefliegende Ergebnis auch einer weiten potentiellen Leserschaft (von Masterstudenten mit einschlägigen Vorkenntnissen bis hin zu Wissenschaftern, die im weiteren Umfeld des Themengebietes forschen) zugänglich gemacht. Des weiteren enthält die Arbeit auch einen Abschnitt, welcher vorbereitenden Charakter hat, und auf eine Präsentation einiger Sätze von A. A. Mititel und G. I. Russu aus den 1970er und 1980er Jahren abzielt, welche leider nur einem sehr kleinen Kreis bekannt sind und deren Beweise nie in allgemein zugänglicher Form publiziert wurden. Es ist geplant in einem der Diplomarbeit folgenden Survey Artikel diese Sätze vollständig zu beweisen, und damit einer breiten Leserschaft bekannt zu machen.

Ideals contained in the algebra of bounded linear operators on a Hilbert space H is a well discussed functional analytic topic. For H being separable each proper ideal is contained in K(H). Since Calkins 1941 paper, it is known that operator ideals contained in K(H) correspond bijectively to specific spaces of nonincreasing zero sequences.Of special interest in the spectral theory are ideals endowed with a symmetric norm, forming Banach spaces. These are called symmetrically normed ideals and examples would be the Schatten–von Neumann classes, which are the operator theoretical counterparts of L^p spaces. Up until recently, it was an open question in the field of operator theory. In 2008 N.J. Kalton and F.A. Sukochev gave an answer to this question. In this master thesis proofs of N.J. Kalton and F.A. Sukochev get revised, reshaped and presented in a more attractive way. Then, matters become clearer and are more accessible for potential readers.Moreover, this master thesis contains an additional chapter, more of preparational nature, that gives a tiny glimpse of a planned survey paper, which aims to present and proof some, almost unknown theorems, discovered by A. A. Mititel and G. I. Russu from the 70's and 80's concerning s.n.-ideals. The goal is to completely proof these theorems and make them more accessible.