Elements of large deviations theory for banach-space-valued brownian motion and ciesielski’s isomorphism in Weighted Hölder Spaces

Abstract

Das Ziel der vorliegenden Diplomarbeit ist die Herleitung eines verschärften Resultats über das asymptotische Verhalten der Enden von Gauss'schen Wahrscheinlichkeitsmaßen. Wir zeigen, dass der Satz von Schilder, welcher ein gefeiertes Resultat aus der Theorie der großen Abweichungen darstellt, in einem Kontext gilt, wo skalierte, Banachraum-wertige Brown'sche Bewegung für unbeschränkte Zeiten und bezüglich einer Topologie betrachtet wird, welche durch eine Hölder-ähnliche Norm induziert wird. Wir beschäftigen uns somit mit einem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, welches unter anderem in der Versicherungsmathematik eine große Tradition hat. Nach einer kurzen Einführung im Kapitel 1 befassen wir uns in Kapitel 2 mit gewichteten Hölder-Räumen. Diese erlauben die Betrachtung von unbeschränkten Zeiten, verallgemeinerten Stetigkeitsmodulen sowie Bildräumen, welche von translationsinvarianten semi-Metriken induziert werden. Nachdem wir Wavelet-artige Reihendarstellungen und Approximationsresultate herleiten, zeigen wir unter welchen Bedingungen die betrachteten Räume separabel oder vollständig sind. In Kapitel 3 zeigen wir eine verallgemeinerte Version von Ciesielskis Isomorphismus, welcher sich mit Abbildungen zwischen Funktionen- und Folgenräumen beschäftigt, wobei die betrachteten Folgen durch Differenzen zweiter Ordnung von Funktionswerten auf der Menge der dyadisch rationalen Zahlen gegeben sind. Ferner zeigen wir die Äquivalenz von verallgemeinerten Normen, welche durch Differenzen erster und zweiter Ordnung charakterisiert sind. Schließlich beginnt Kapitel 4 mit grundlegenden Darstellungen zu Gaussmaßen auf lokalkonvexen topologischen Vektorräumen. In diesem Kontext betrachten wir das Konzept von Brown'scher Bewegung, welche Werte in reellen separablen Banachräumen annimmt. Ein kurzer Ausflug über die Studie von Pfadeigenschaften dieser stochastischen Prozesse führt uns zuletzt zum angestrebten Satz von Schilder. Als Korollar erhalten wir außerdem eine Version des Satzes von Strassen. Zu guter Letzt skizzieren wir eine Methode zur Varianzreduktion von statistischen Schätzern als Anwendung im Risikomanagement.

The aim of this thesis is to derive a strenghtened topological statement about asymptotic tail estimates of Gaussian probability measures. We show that Schilder's theorem, a celebrated result in the theory of large deviations, holds in the setting where scaled, Banach-space-valued Brownian motion runs on an unbounded time domain and with respect to a topology which is induced by a Hölder-like norm. We are thus studying an area of probability theory that has a long tradition especially in insurance mathematics. After a short introduction in Chapter 1, we study the notion of weighted Hölder spaces in Chapter 2. These allow for unbounded time domains, generalized moduli of continuity, as well as image spaces whose topologies are induced by translation-invariant semi-metrics. After providing wavelet-like representation and approximation results, we show under which conditions the considered spaces are complete or separable. In Chapter 3, we provide a generalization of Ciesieski's isomorphism, which deals with maps between function- and sequence spaces, where the sequences are essentially given by second order differences of functions evaluated on the set of dyadic rationals. Moreover, we establish equivalence between generalized norms that incorporate these second order differences, and those that encode first order differences. Finally, Chapter 4 begins with a primer on Gaussian measures on locally convex topological vector spaces. In this context, we revisit the concept of Brownian motion which assumes values in real separable Banach spaces. A brief study of path properties of these stochastic processes finally leads to the generalized version of Schilder's theorem. As a corollary, we further obtain a variant of Strassen's theorem in Hölder norm. Finally, we outline a variance reduction method for statistical estimation problems as a potential application in risk management.