Backstepping-based boundary observer for a class of linear and semilinear hyperbolic partial integro-differential equations

Abstract

Zentrales Thema dieser Arbeit ist der Entwurf eines Beobachters für eine Klasse von linearen und semilinearen hyperbolischen partiellen Integro-Differentialgleichungen (PIDGs). Während das duale Problem des Reglerentwurfs in der Literatur bereits umfassend behandelt wurde, blieb der Entwurf von Beobachtern weitgehend unbeachtet für diese Klasse von PIDGs. Aufgrund der Eigenschaften hyperbolischer PIDGs wird als erstes geklärt, ob und wie Beobachter sinnvoll eingesetzt werden können. Nachdem die interessanten Fälle dargelegt wurden, wird ein Luenberger Beobachter für lineare, zeitvariante Systeme durch Anwendung der Backstepping-Methode entwickelt. Vor der Behandlung des zeitvarianten Falls werden die notwendigen Schritte und Methoden am zeitinvarianten Fall erläutert. Da die Backstepping-Methode die Bestimmung eines unbekannten Integralkerns erfordert, wird eine effiziente, iterative Strategie zur numerischen Lösung entwickelt. Durch Verwendung eines so genannten -Extended Luenberger--Beobachters kann der vorgeschlagene Entwurf auf semilineare PIDGs übertragen werden. Da semilineare PIDGs Phänomene wie multiple Ruhelagen aufweisen können, verändert sich die Klasse der sinnvoll beobachtbaren Strecken dramatisch. Abschließend wird eine geeignete numerische Methode zur Lösung der Zustands-PIDG vorgestellt.

In this thesis, a boundary observer for a class of linear and semilinear hyperbolic partial integro-differential equations (PIDEs) is presented. While the dual problem of boundary control has already been treated in literature, the observation problem remained uncharted for this type of PIDE. Due to the properties exhibited by hyperbolic PIDEs, the question whether and how observation algorithms can be considered useful is explored and their limitations are shown. A Luenberger-type observer is developed using the backstepping method. Prior to presenting the time-varying case, the simpler time-invariant case is considered to demonstrate the procedure in principle. Since the backstepping method requires the solution of a kernel equation, an efficient and iterative numerical method is developed. Using an extended Luenberger-type observer, the proposed design can be transferred to semilinear plants. As semilinear PIDEs show completely different phenomena like multiple equilibrium points, the class of plants where observers can be applied usefully changes quite dramatically. Finally, suitable numerical methods for solving the state PIDE are shown.