Probabilistic modelling of the elastic behaviour of glued laminated timber

Abstract

Als natürlicher und erneuerbarer Rohstoff gewinnt Holz stetig an Beliebtheit im Bausektor. Tragend ist dabei auch die Vielzahl an Produkten, die im Holzbau eingesetzt werden können. Jedoch muss bei Holz die relativ große Streubreite der mechanischen Eigenschaften beachtet werden. Diese Streuungen gehen mit dem natürlichen Wuchsprozess einher: Jeder Baum wächst individuell in starker Abhängigkeit von Spezies, Standort sowie Sonnenlicht und Witterung. Viele dieser Faktoren sind kaum beinflussbar und daher muss angenommen werden, dass diese zufällig sind. Daraus resultierend sind auch die mechanischen Eigenschaften von Holzbrettern dem Zufall unterworfen. In weiterer Folge weisen auch das aus einzelnen zueinander verleimten Holzbrettern bestehende Brettschichtholz (BSH) und andere aus Holzbrettern bestehende Produkte zu einem gewissen Maß zufällige Phänomene auf. Die zufälligen Streuungen auf Material- als auch auf Einwirkungsseite werden üblicherweise mithilfe des semi-probabilistischen Sicherheitskonzepts berücksichtigt, welches auf Teilsicherheitsbeiwerten beruht. Hierbei kann aber eine wirtschaftliche und effiziente Bemessung der Bauteile nicht gewährleistet werden. Um Holz weiterhin als konkurrenzfähigen Werkstoff gegenüber anderen Baustoffen zu positionieren, sind genaue Vorhersagen der effektiven mechanischen Eigenschaften von Holzprodukten erforderlich. Dafür müssen numerische Simulationstools entwickelt werden, welche den Einfluss der zufälligen Materialfluktuationen innerhalb einzelner Holzbretter auf die effektiven Eigenschaften von Holzprodukten abbilden können. Daher wurden im Rahmen einer Literaturstudie Ansätze zur probabilistischen Bewertung von BSH diskutiert, die die mechanischen Eigenschaften einzelner Lamellen mithilfe eines Zufallsprozessmodells beschreiben. Es war das Ziel dieser Studie, Alternativen zur im Ingenieurwesen weit verbreiteten Monte-Carlo-Simulation aufzuzeigen. Dabei fiel der Fokus auf die sogenannte Perturbation- und Polynomial-Chaos-Methoden. Bei einer angemessenen Anzahl von Lamellen bieten diese Methoden gleichwertige Lösungen und zwar innerhalb eines Bruchteils der Berechnungszeit, die für die Monte-Carlo-Simulation benötigt wird. Für die Modellierung der zufälligen Materialeigenschaften innerhalb der einzelnen Lamellen konnten vor allem Reihenentwicklungen, insbesondere die sogenannte Karhunen-Love-Reihenentwicklung als effiziente Ansätze identifiziert werden. Hierbei wird ein Zufallsprozess mit einer minimalen Anzahl von Zufallsvariablen optimal repräsentiert. Für eine Stichprobe von 448 Holzbrettern zweier Güteklassen wurden mit Laserscannern (auf Basis des Tracheideneffekts) die Faserwinkel in der Oberflächenebene gemessen. Die aus der Oberfläche heraus orientierten Faserwinkel wurden mittels eines empirisch ermittelten Modells abgeschätzt. Es wurden Holzfeuchte und Dichte gemessen, welche als Eingangswerte für ein mikromechanisches Modell dienten, womit wiederum der Steifigkeitstensor von ungestörtem, astfreiem Holz ermittelt werden konnte. Dieser Steifigkeitstensor wurde in jedem Punkt eines vordefinierten Rasters gemäß der ermittelten Faserwinkel transformiert. Anschließend wurden Repräsentation des Zufallsprozesses überprüft. Schlussendlich wurden die numerischen Ergebnisse der probabilistischen Methoden den experimentellen Ergebnissen gegenübergestellt. Für die hier vorliegende Untersuchung war eine linear-elastische Analyse ausreichend. Um die Zuverlässigkeit von Holzprodukten hinsichtlich der Tragfähigkeit beurteilen zu können, muss hingegen das nichtlineare Verhalten von Holz berücksichtigt werden. Die hierfür geeigneten numerischen Tools benötigen genaue Informationen bezüglich der Morphologie eines jeden Bretts. Aus diesem Grund wurde ein Algorithmus zur Rekonstruktion der dreidimensionalen Astgeometrie entwickelt, der auf den zur Verfügung stehenden Faserwinkelmessungen und einer Schätzung der Marklage an beiden Enden jedes Bretts basiert. Das ermöglicht den Zugang zu geometrischen Daten von 448 Holzbrettern und stellt den Ausgangspunkt zur Anwendung komplexer Simulationstools auf reale Problemstellungen dar. Diese Arbeit umfasst alle Punkte, beginnend bei der Datengewinnung über Entwicklung eines Zufallsprozessmodells bis zu dessen Anwendung im Rahmen eines probabilistischen Ansatzes, die zur Bewertung des elastischen Verhaltens von Brettschichtholz notwendig sind. Dabei konnte gezeigt werden, dass die Ergebnisse der numerischen Methoden eine hohe Genauigkeit und beachtliche Zeitersparnisse im Vergleich zu anderen Verfahren aufweisen. Die dreidimensionale Rekonstruktion der Astgeometrie stellt einen wesentlichen Schritt zur Anwendung fortgeschrittener numerischer Methoden zur Bemessung und Bewertung von Holzprodukten dar.

Wood is a naturally grown material and, as a renewable resource, is gaining popularity in the building sector not only for its sustainability, but also for its broad variety of products tailored for manifold application scenarios encountered in structural engineering. However, since it is a naturally grown material, wood shows a high variability in its mechanical properties. The observed variabilities are the result of the individual growing process of each tree, influenced by several factors, such as species, location or light exposure, many of which are beyond the control of the growing facilities. Thus, it is assumed that these factors and, consequently, also the variability of the mechanical properties of wooden boards is random. As a result, also at the macro-structural level of glued laminated timber, which is assembled of multiple wooden boards, random characteristics are observed. Currently, in the design process of timber structures, the uncertainties in load and load-bearing capacity are taken into account using a semi-probabilistic design procedure based on partial safety factors. This approach, however, often prohibits an economically efficient design. To ensure the competitiveness of wood against artificial building materials, mechanically sound methods for accurate determination of effective properties of wood-products are necessary. For this, numerical tools are required, which are able to consider the impact of random variability of the base material on timber products and structures. Therefore, in this work, a literature survey was conducted, discussing approaches applied for the probabilistic assessment of glued laminated timber, thereby considering the random properties within each lamination by means of a random process. Since the majority of studies found in the literature employed the well-known Monte Carlo simulation, two alternative members of the family of stochastic finite element methods, the so-called polynomial chaos projection scheme and the perturbation method, were investigated in a comparative study. It was concluded that, for a reasonable number of laminations, the alternative approaches are capable of delivering accurate results within a fraction of the computational effort needed for Monte Carlo simulation. Also, numerous options for modelling the random mechanical behaviour within each lamination were discussed. Thereby, series expansion approaches and, in particular, the Karhunen-Loève expansion were identified as efficient methods for modelling random input with a minimum number of random variables. Subsequently, a sample of 448 Norway spruce (Picea abies) wooden boards of two different grading classes was investigated by tracheid effect-based laser scanning, thereby recording the in-plane fibre angles on the surfaces of each board. In addition, a model for estimating the out-of-plane angle was employed. Based on measured density and moisture content, a micro-mechanical model was incorporated to obtain the clear wood stiffness tensor for each board. Orienting the clear wood stiffness tensor according to the measured fibre angles and homogenising the obtained stiffness values over each cross section led to a stiffness profile for each board. It was assumed that the stiffness distribution within each lamination was subject to randomness and each stiffness profile was a specific observation of an underlying random process. Employing the Karhunen-Loève expansion allowed for a sound representation of the random behaviour of each lamination by means of a finite number of random variables. Based thereon, each lamination, now modelled as random process, was used for virtually assembling glued laminated timber beams with random properties. Application of the stochastic perturbation method, polynomial chaos projection scheme and Monte Carlo simulation returned the system response by means of statistical data, covering the population of glued laminated timber beams. Parallel to the numerical investigation, the 448 wooden boards were glued to 50 glued laminated timber beams, thereby documenting the location of each board within the corresponding glued laminated timber beam. Besides non-destructive dynamic excitation tests, the beams were subjected to static four-point bending tests until failure, resulting in an experimental database for verification of the numerical models. First, the obtained stiffness profiles were verified by performing a deterministic finite element analysis on virtually reconstructed glued laminated timber beams and comparing the results to experimental investigations. Second, it was verified that the random process model representation yields a sound representation of the underlying random process. Third, the results of the virtually assembled glued laminated timber beams subjected to four-point bending within the stochastic finite element method framework were verified against the corresponding experiments. While for the aforementioned investigations a linear elastic analysis was sufficient, when it comes to reliability assessment of timber products, the non-linear material behaviour of wood needs to be taken into account. For this, numerical tools are being actively developed by the scientific timber engineering community. In order to provide reliable results, these tools require accurate information about the morphology of the wooden board. For this reason, an algorithm was proposed to reconstruct the three-dimensional knot geometry based on the existing sample of laser scan data and on the estimated pith location of both ends of each board. Thereby, geometry data of 448 boards could be accessed on an automated basis, forming the first step for the application of advanced simulation tools on real world situations. Concluding, this work covers the steps from data allocation over the random input model development to its application within the framework of stochastic finite element methods for the probabilistic assessment of glued laminated timber beams in the elastic regime. Thereby, the obtained results of the employed stochastic finite element methods show remarkable accuracy and efficiency compared to existing probabilistic schemes, such as Monte Carlo simulation. Additionally, with the development of an algorithm for automatic knot reconstruction, an important step towards advanced three-dimensional numerical simulation tools was made.