Stability analysis of random catalytic network dynamics in a linear model of gene-regulation

Abstract

Zur Beschreibung von Protein bzw. RNA-Molekühl Interaktionen, unter Anderem im Inneren einer Zelle werden catalytische Reaktionsgleichungen verwendet. Die Formulierung der oft komplizierten Reaktionen als Interaktionsnetzwerk zwischen vielen Substanzen bietet sich an, und wird meist unter nähernden Annahmen durchgeführt um eine Rechnungen zu vereinfachen bzw. überhaupt zu ermöglichen. Ein solches multidimensionales Model für RNA-Molekühlkonzentrationen in einem Zellkern mit zufälligen linearen und fluktuierenden Interaktionsraten wurde untersucht. Seine charakteristische Dynamik wird durch die Forderung positiver Konzentrationswerte und durch externen Zufluß von Molkühlen bestimmt. Dieses Model gilt somit als ein komplexes, teilweise lineares dynamisches System mit externer Zwangsbedinnung. Es wurde dafür Multistabilität nachgewiesen und es zeigt sich ein ausgedehnter kritischer Bereich ("inflation of the edge of chaos") als Funktion der mittleren Anzahl der Verbindungen im zufallsgenerierten Interaktionsnetzwerk. Der kritische Bereich zeichnet sich durch einen maximalen Lyapunov Exponenten um Null aus. Die Dynamik dieses Systems wird hier untersucht. Als Erstes werden für verschiedene Modelparameter mehrere bzw. die existierenden Lyapunovexponenten ermittelt und daraus eine effektive Dimension und Entropie des Systems berechnet. Bei manchen üblichen Methoden zur Ermittlung der Lyapunovexponenten treten durch die Nichtlinearität in der Dynamik dieses Models Schwierigkeiten auf. Diese werden hier behandelt und konkrete Lösungen vorgeschlagen. Für den maximale Lyapunovexponent exisiteren ober- und unterhalb des kritischen Bereichs theoretische Näherungen deren gemeinsames Konzept die Aufteilung des gesamten Systems in ein aktives und inaktives Teilsystem ist. Dieses Konzept wird weiterentwickelt und Grenzen der theoretischen Näherung werden aufgezeigt. Die Zeitreihen der Molekühlkonzentrationen zeigen periodisches Verhalten. Diese werden in Hinblick auf Synchronisation durch Kopplungseffekte im Netzwerk und das Vorhandensein von dominanten, charakteristischen Frequenzen untersucht. Eine Frequenzanalyse mittels Leistungsspektrum wird durchgeführt und zeigte, dass im kritischen Bereich Oszillationen wesentlich häufiger und mit einheitlicherer Frequenz auftreten als außerhalb. Die Ermittlung der Korrelationskoeffizientenmatrix der Zeitreihen wurde beispielhaft für eine konkrete zufällig Realisierung durchgeführt. Die Analyse der Hauptkomponenten der Eigenvektoren zu den größten Eigenwerten zeigt starke Synchronisation im kritischem Bereich.

For the description of protein or RNA-molecule interactions, among other cases in the interior of a cell, catalytic reaction equations are used. The formulation of the usual complicate reactions as an interaction network between many substances is obvious and is usually done under approaching acceptances for making calculations simpler or possible. For RNA molecule concentrations in a cell nucleus, such a multi-dimensional model with random linear and fluctuating interaction rates was formulated. Its characteristic dynamics is determined through the demand of positive concentration values and through external influx of molecules. This Model counts therefore as a complex, partially linear dynamic system with an external constraint.<br />Multi-stability was demonstrated for it and it shows an expanded critical area (an "inflation of the edge of chaos") as a function of the averaged connectivity of the random generated interaction network. The critical area is characterized by a maximal Lyapunov exponent around zero. The dynamics of this system is examined in this work. Several and/or all existing Lyapunov exponents are determined for different model parameters and an effective dimension and an entropy of the system are calculated. In many usual methods to the ascertainment of the Lyapunov exponents appear difficulties through the non-linearity in the dynamics of this model. These are treated and concrete solutions are proposed.<br />For the maximal Lyapunov exponent exist a theoretical approximation above and below the critical area. Their joint draft is the division of the entire system into an active and an inactive sub-system. This draft is developed further and limits of the theoretical approximation are shown . The time rows of the molecule concentration show partially periodic behavior. These are examined in regard on synchronization through coupling effects in the network and the existence of a dominant, characteristic frequency. A frequency analysis by power-spectrum was performed and showed that in the critical area oscillations appear more frequent substantially and with more uniform frequency than outside. Estimation of the correlation coefficient matrix of the time series was carried out for one specific random realization.<br />The analysis of the principal components of the eigenvectors of the largest eigenvalues show strong synchronization for the critical area.