Fourier-Reihen und ihre Anwendungen

Abstract

In vielen Bereichen der Mathematik werden Funktionen mit Hilfe ihrer Ableitungen als Potenzreihe dargestellt. Eine der wichtigsten Potenzreihen ist die Taylor-Reihe. Eine weitere Möglichkeit Funktionen durch einer Reihe darzustellen, ist die der Fourier-Reihe. Hierbei verwendet man eine andere Basis, das sogenannte trigonometrische Fundamentalsystem.<br />Aufgrund der Periodizitat der Basisfunktionen behandeln wir vor allem periodische Funktionen. Am Anfang dieser Arbeit beschranken wir uns auf Funktionen mit der Periodendauer 2pi. Im Laufe dieser Arbeit wenden wir die Idee der Fourier-Reihe im Bereich der Elektrotechnik, den Gleichrichter-Schaltungen, an. An dieser Stelle verallgemeinern wir diese Theorie auf Funktionen mit beliebiger Periodenlänge T. Bevor wir jedoch wichtige Beispiele von Fourier-Reihen betrachten, mussen wir zuerst die Theorie der Fourier-Reihen verstehen. Hierbei werden zunachst Banach- und Hilberträume genauer betrachtet. Ebenso wird die Geschichte der Fourier-Reihe dargestellt.<br />Einige der wichtigsten Beispiele der Fourier-Reihe werden ebenfalls genau untersucht. Hierbei kommen uberraschende Ergebnisse zustande, die im letzten Kapitel festgehalten sind. Eines vorweg, die Wege der Kreiszahl pi und die der Fourier-Reihe liegen sehr nahe beieinander.<br />In vielen Bereichen der Praxis spielen auch die komplexen Zahlen ein wesentliche Rolle. Hinsichtlich dieser Tatsache kann die komplexe Schreibweise der Fourier-Reihe von Vorteil sein. Eine interessante Fourier-Reihe, unter Annahme einer Periodizität, ist die Exponentialfunktion. Diese wird auch näher betrachtet.<br />Wie oben erwähnt werden Gleichrichter-Schaltungen näher behandelt. In Folge dessen werden die Funktionen einiger Gleichrichter-Schaltungen mittels Fourier-Analyse näher untersucht. Aus diesen Untersuchungen kristallisieren sich einige spannende Ergebnisse.<br />Diese Arbeit stellt eine umfassende Zusammenfassung von Fourier-Reihen in Theorie und Praxis dar. Es werden Beispiele zur Illustrierung betrachtet.<br />