Backstepping observers for parabolic PDEs with varying parameters

Abstract

Model-based control and advanced process monitoring usually require full state information. This is evident when control strategies are utilized by means of state feedback or when algorithms based on full state knowledge are applied to improve the insight in the system behavior, e.g., for diagnostic or error detection purposes.<br />However, for distributed-parameter systems (DPS), i.e., systems governed by partial differential equations (PDEs) the measurement information is typically limited by the number of sensors and in the case of spatially higher-dimensional systems by the fact that measurements are usually available only on the boundary of the spatial domain.<br />In this context, this thesis is concerned with the state estimation problem for systems governed by parabolic PDEs with boundary sensing.<br />The first part of this thesis deals with the state estimation for scalar linear PDEs with spatially and time-varying parameters defined on a 1-dimensional spatial domain and time-varying boundary conditions. For this, a distributed-parameter Luenberger-type state observer is introduced with observer corrections entering both the PDE and the boundary conditions.<br />Thereby, the backstepping method is utilized and extended to determine the output injection weights to ensure the exponential decay of the resulting observer error dynamics and hence an accurate state estimation.<br />For the solution of the arising kernel-PDE governing the evolution of the kernel of the backstepping transformation two approaches are suggested and compared in view of their computational efficiency.<br />The next part of this work is focused on the extension of the backstepping-based state estimation to systems governed by parabolic PDEs defined on a higher-dimensional spatial domain by means of an n-dimensional orthotope, whereby the measured system output is restricted to a single boundary hyperplane.<br />In order to achieve the exponentially stable observer error dynamics, at first an idealized system output of infinite-dimensional character is assumed as an available measurement and the observer gains are determined in terms of this idealized setting.<br />Secondly, in view of a practical realization of the proposed observer, an approach is presented to reconstruct the system output from a set of finite-dimensional measurements and consecutively the approximated output is employed in the state observer scheme.<br />The last part of the thesis is concerned with the state estimation problem for quasi-linear parabolic PDEs with locally Lipschitz non-linearities.<br />Thereby, the combination of the extended Luenberger observer, the backstepping method and the so-called Hopf-Cole transformation is considered for the successive determination of the output injection weights to ensure the convergence of the observer error dynamics.<br />Each section concludes with numerical results for various simulation scenarios.<br />Thereby, both stable and unstable plant dynamics resulting from a particular choice of the system parameters are considered.<br />It turns out that the proposed backstepping-based state observer design approach leads to a very accurate estimation performance.<br />

Für moderne Regelungskonzepte aber auch zur modellbasierten Überwachung der Prozessdynamik vieler technischer Anwendungen ist sehr oft die Kenntnis des vollständigen Systemzustands erforderlich.<br />Dies ist insbesondere dann notwendig, wenn die Regelung auf Basis einer Zustandsrückführung aufgebaut ist oder die vollständigen Zustandsinformationen zur modellbasierten Systemdiagnose und Störfallerkennung eingesetzt werden.<br />Der vollständige Systemzustand kann jedoch in der Regel nicht unmittelbar durch Messungen erfasst werden.<br />Dies trifft insbesondere auf verteilt-parametrische Systeme zu, die durch partielle Differenzialgleichungen (PDGLn) beschrieben werden, da hierbei Einschränkungen bezüglich der Anzahl der Messglieder zu berücksichtigen sind, oder im Fall örtlich mehrdimensionaler Systeme durch die Tatsache, dass Messungen oft nur am Rand des örtlichen Definitionsgebiets zur Verfügung stehen können.<br />Aus diesem Grund wird ein Zustandsschätzer benötigt, um die nicht direkt messbaren Zustandsgrößen aus gemessenen Ein- und Ausgangsgrößen sowie der Kenntnis des mathematischen Modells zu bestimmen.<br />Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Entwurf von Zustandsschätzer für Systeme, die durch parabolische PDGLn modelliert werden.<br />Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Zustandsschätzung für lineare örtlich eindimensionale parabolische PDGLn mit orts- und zeitvariablen Parametern und zeitvariablen Randbedingungen.<br />Dies erfolgt durch den Einsatz eines verteilt-parametrischen Luenberger-Beobachters mit in der PDGL und am Rand wirkenden Korrekturtermen, wobei zu deren Entwurf die Backstepping-Methodik herangezogen wird.<br />Die so ermittelten Beobachterverstärkungen garantieren das exponentielle Abklingen der Beobachtungsfehlerdynamik und somit eine präzise Zustandsschätzung.<br />Hierbei werden zwei Lösungsverfahren vorgestellt, die für die im Hinblick der herangezogenen Backstepping-Methodik notwendige Lösung der so genannten Kern-PDGL eingesetzt werden.<br />Die Erweiterung dieser systematischen Entwurfsmethodik für Systeme, die durch parabolische PDGLn in mehreren Ortsdimensionen beschrieben werden, stellt den Schwerpunkt des zweiten Teils dieser Arbeit dar.<br />Das örtliche Definitionsgebiet ist dabei durch einen n-dimensionalen Quader gegeben, wobei die Messgröße des Systems auf einer der Begrenzungs-Hyperebenen des Quaders definiert ist.<br />Um das exponentielle Abklingen der Beobachtungsfehlerdynamik zu erzielen, werden zuerst die Beobachterverstärkungen unter der Annahme einer idealisierten infinit-dimensionalen Messgröße ermittelt.<br />In einem zweiten Schritt wird im Hinblick auf eine praktische Realisierung des Zustandsbeobachters ein Ansatz präsentiert, der es ermöglicht, die idealisierte Messgröße aus einer endlichen Anzahl finit-dimensionaler Messwerte mit Hilfe der Least-Squares-Methode zu rekonstruieren. Der letzte Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Zustandsschätzung für quasi-lineare PDGLn mit lokal Lipschitz-stetigen Nichtlinearitäten.<br />Hierbei wird die Kombination eines verteilt-parametrischen erweiterten Luenberger-Beobachters mit der Backstepping-Methodik ergänzt durch eine sukzessive Anwendung der so genannten Hopf-Cole-Transformation zum Entwurf der Beobachterverstärkungen eingesetzt.<br />In jedem der zusammengefassten Teilabschnitte dieser Arbeit werden numerischen Ergebnisse anhand verschiedener Simulationsszenarien diskutiert, wobei insbesondere sowohl stabile als auch instabile Streckendynamiken analysiert werden.<br />Es zeigt sich, dass die vorgeschlagenen Backstepping-basierten Beobachterkonzepten eine präzise Schätzung des Systemzustands ermöglichen.<br />