Entropy method and large time behavior of the vorticity equation

Abstract

In dieser Arbeit wird das Langzeitverhalten der Wirbelgleichung in zwei und drei Dimensionen mittels Entropiemethode betrachtet. Die Wirbelgleichung erhält man aus den bekannten Navier-Stokes Gleichungen, indem man die Gleichung für die Rotation der Lösung betrachtet. Die Grundidee der Entropiemethode ist ein Ljapunov(Entropie)-Funktional für die Gleichung zu finden und dann eine Differentialungleichung zwischen erster und zweiter Ableitung herzuleiten. Durch Integration erhält man damit exponentielle Konvergenz in dem Entropie-Funktional zu einer Stationärlösung und anschließend kann eine Csiszár-Kullback Ungleichung oder eine Einbettung verwendet werden, um Konvergenz in gewissen Lebesgue-Räumen zu zeigen.<br />Nach einer kurzen Einleitung wird in dieser Arbeit zunächst die Wirbelgleichung in zwei Dimensionen auf eine nichtlineare Fokker-Planck Form transformiert, da für diese ein einfacher, nicht trivialer Stationärzustand existiert. Weiters wird ein Entropie-Funktional für positive Lösungen angegeben und anschließend wird mittels Entropiemethode exponentielle Konvergenz zu dieser Stationärlösung bewiesen. Im folgenden Kapitel wird ein anderes Entropie-Funktional betrachtet, um unter zusätzlichen Annahmen dasselbe Resultat für Lösungen, deren Vorzeichen wechseln können, zu zeigen. Im vierten Kapitel wird das Spektrum des linearen Fokker-Planck Operators studiert, um für Anfangsbedingungen, die in höheren Eigenräumen liegen, eine schnellere Konvergenzrate zu erhalten. Schlussendlich wird im letzten Kapitel der deutlich schwierigere dreidimensionale Fall betrachtet. Hier werden ausschließlich Lösungen zu kleinen Anfangsdaten betrachtet, da anderenfalls die eindeutige Lösbarkeit für die Navier-Stokes Gleichungen nicht bekannt ist, und für diese einige Resultate aus dem zweidimensionalen Fall verallgemeinert.<br />

In this thesis the large time asymptotics of the vorticity equation in two and three dimensions using entropy is discussed. The vorticity equation can be derived from the well-known Navier-Stokes equations by studying the equation for the curl of the solution. The main idea of the entropy method is to find a Ljapunov functional for the equation, the so called entropy and derive a differential inequality involving the first and second derivative of the entropy. Afterwards integration leads to exponential decay in the entropy and a Csiszár-Kullback inequality or an embedding can be used to show convergence in some Lebesgue spaces.<br />After a short introduction in this thesis, the vorticity equation is transformed into a nonlinear Fokker-Planck, because we can explicitly compute a non-trivial steady state for this equation. Further a Ljapunov functional for solutions that do not change sign is given and using the described entropy method exponential convergence to the steady state is proved. In the next chapter a different entropy functional is used to allow solutions that change sign and a similar result follows under some additional assumptions. In the fourth chapter some spectral properties of the linear Fokker-Planck operator are studied to derive some faster rates of convergence, if the initial condition lies in higher eigenspaces. Finally, in the last chapter the more difficult three dimensional case is discussed. Here we only consider solutions with small initial data, since otherwise the unique solvability of the Navier-Stokes equations is unknown, and for those some results from the two dimensional case are generalized.