Mixed conforming elements for the large-body limit in micromagnetics

Abstract

In dieser Arbeit wird ein relaxiertes Minimierungsproblem eines makroskopischen Modells des stationären Mikromagnetismus behandelt.<br />Das zugehörige Energiefunktional wird unter der Nebenbedingung der magnetostatischen Maxwellgleichungen und einer punktweisen Nebenbedingung für das magnetische Feld minimiert. Beide Nebenbedingungen werden mit der Methode von Lagrange behandelt.<br />In den untersuchten Diskretisierungsverfahren wird die punktweise Nebenbedingung für das magnetische Feld mittels eines Strafverfahrens realisiert. Insgesamt werden zwei verschiedene Methoden zur numerischen Lösung des Minimierungsproblems studiert: Eine Finite Elemente Methode (FEM) und eine Finite Elemente -- Randelemente Kopplungsmethode (FEBEM).<br />Beide Verfahren werden im Kontext von konformen Ansatzräumen betrachtet und formuliert.<br />Um die eindeutige Lösbarkeit der diskretisierten Gleichungen zu garantieren, wird eine konsistente Stabilisierung der Diskretisierungsverfahren vorgestellt.<br />Unter Regularitätsannahmen an die exakte Lösung werden optimale a priori Konvergenzraten für beide Methoden gezeigt.<br />Mittels a posteriori Daten wird ein residualer Fehlerschätzer für die Finite Elemente Methode hergeleitet. Dieser Schätzer lässt sich in die Gruppe der zuverlässigen Fehlerschätzer einordnen und wird zur Steuerung eines adaptiven Algorithmus herangezogen.<br />Dieser Algorithmus kann im Falle fehlender globaler Regularität der Lösung die Konvergenzraten signifikant verbessern.<br />Anhand von drei Beispielen werden die beiden Methoden miteinander numerisch verglichen.<br />

The present work studies a relaxed minimization problem in the so-called large-body limit of stationary micromagnetism. The associated energy functional is minimized under the side constraint of the magnetostatic Maxwell equations and a pointwise side constraint for the magnetic field.<br />Both side constraints are treated with the method of Lagrange.<br />The pointwise side constraint is enforced in our discretizations with a penalty method. All in all two different methods for the numerical solution of the minimization problem are studied:<br />A Finite Element Method (FEM) and a Finite Element -- Boundary Element Coupling Method (FEBEM).<br />Both methods are considered and formulated in the context of conforming ansatz spaces.<br />To ensure uniqueness of the discretized system of equations a consistent stabilization is introduced.<br />Under regularity assumptions on the exact solution optimal a priori convergence rates are shown for both methods.<br />Based on the computed data, a residual based a posteriori error estimator for the Finite Element Method is designed. This estimator falls into the class of reliable estimators and is used to steer an adaptive algorithm.<br />In the case of lack of global regularity of the solution this algorithm can significantly increase the convergence rates.<br />Both methods are compared numerically by means of three examples.<br />