Modelle zur Bestimmung des aortalen Blutflusses basierend auf Optimalitätsbedingungen

Abstract

Die Hämodynamik im menschlichen Körper wird durch die beiden Zustandsgrößen Blutfluss und -druck beschrieben, die sowohl von den Eigenschaften des Herzens als auch von jenen des Gefäßsystems beeinflusst werden. Die Analyse von Fluss- und Druckverläufen kann daher dazu beitragen, wertvolle Informationen über den Zustand des Herzkreislaufsystems zu gewinnen. Insbesondere gelten Parameter, die aus aortalen Kurven abgeleitet werden, als wichtige Indikatoren für kardiovaskuläre Erkrankungen. Allerdings ist die Durchführung entsprechender Messungen schwierig. Für den Druck gibt es bereits validierte Methoden um die zentralen Kurven aus peripheren zu bestimmen, welche relativ einfach und vor allem nichtinvasiv gemessen werden können. Ziel dieser Arbeit ist es Modelle zur Bestimmung des aortalen Flusses zu untersuchen, da für dessen nichtinvasive Messung keine automatisierten Verfahren zur Verfügung stehen.<br />Dafür werden zunächst die sogenannten Windkesselmodelle betrachtet, deren Grundform bereits Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt wurde.<br />Diese beschreiben den Zusammenhang zwischen Druck und Fluss über lineare gewöhnliche Differentialgleichungen, wobei der Aortenwurzelfluss den Modelleingang, der zentrale Blutdruck den Modellausgang darstellt. Indem eine Optimalitätsbedingung an die Arbeitsweise des Herzens in das Windkesselmodell integriert wird, kommt es zu einer Rückkopplung im Modell, die es ermöglicht, gleichzeitig Ein- und Ausgangsgröße zu bestimmen wenn die Modellparameter bekannt sind. Das rückgekoppelte Modell führt dabei auf ein Optimierungsproblem, das mit Methoden der Variationsrechung bzw. der Theorie der optimalen Steuerung gelöst werden kann. Nach einer Erläuterung des Begriffs der Optimalität im Zusammenhang mit den Abläufen im Herz-Kreislaufsystem, werden daher einige mathematische Grundlagen der Optimierung angeführt, die für die Berechnungen benötigt werden. Im Anschluss werden Ansätze und Resultate zur Bestimmung des zentralen Flusspulses aus der Literatur diskutiert und abschließend eigene Modellexperimente präsentiert.<br />Die Ergebnisse aus der Literatur sowie die eigenen Resultate zeigen, dass es mithilfe der Optimalitätsannahme tatsächlich möglich ist Flusskurven zu generieren, die physiologischen Verläufen gleichen. Es stellt sich aber heraus, dass der Ansatz sensibel auf Verletzungen der Modellannahmen reagiert, auf welchen die Windkesselmodelle beruhen.<br />Daher müssen die Rand- und Nebenbedingungen im Optimierungsproblem sehr sorgfältig gewählt werden um physiologisch relevante Ergebnisse erzielen zu können. Unter Berücksichtigung aller Annahmen scheint eine Modellidentifikation anhand einer gegebenen Druckkurve aber realisierbar zu sein.<br />

The hemodynamics in the human body is determined by blood flow and pressure, which depend on the mechanism of the heart and the properties of the vessels. Therefore, the analysis of blood flow and pressure can yield valuable insights into the status of the cardiovascular system of a specific person. Especially parameters, which are derived from aortic pressure and flow curves, are considered to be important indicators of cardiovascular risk. But the measurement of the data needed is difficult. Validated methods already exist for transfering peripheral blood pressure curves to central ones. The aim of this work is to study models for the determination of the aortic flow curve.<br />First, so called Windkessel models are presented, which describe the relation between central pressure and flow via linear ordinary differential equations. In these models the flow represents the input and the pressure the output. Special attention is given to the model parameters and their interpretation as well as to the model assumptions.<br />Next, the concept of optimality in the context of the cardiovascular system is explained. By adding an optimality criterion to the Windkessel model, a feedback mechanism is established, which allows to calculate both pressure and flow at the same time if the model parameters are known. Subsequently, some mathematical basics of optimization are introduced, which can be used to solve the optimization problem resulting from the model plus feedback mechanism. Different approaches and results found in literature are discussed and finally, the results of my model experiments are presented.<br />The results show that it is indeed possible to generate flow curves with this approach, which resemble phyisiological ones. But they also show that the models plus feedback mechanism react sensitively to any violation of the assumptions the Windkessel models are based on. Thus the constraints and boundary conditions in the optimization problem have to be chosen very carefully. However, when they are all taken into account, the identification of the model parameters from a given pressure curve seems feasible.