Diffusive higher-order moment equations for semiconductors

Abstract

Um die Produktionskosten der Computerindustrie zu senken, benutzt man numerische Software zur Anpassung von Halbleiterbauteilparametern, beispielsweise die Strom-Spannungs-Kennlinie. Dazu wird ein System von Gleichungen verwendet, das die Elektronen modelliert und das aus der Boltzmann-Gleichung hergeleitet wird. Durch starke Reduktion der Freiheitsgrade entstehen daraus makroskopische Modelle. Das einfachste Drift-Diffusions-Modell enthält die Elektronendichte und den zugehörigen Strom, der aus einem Driftterm und einem Diffusionsterm besteht. Es stellt eine starke Einschränkung dar, dass die Temperatur konstant ist, was bei größeren Spannungen und kleineren Bauteillängen schlimmer wird.<br />Daher muss die Temperatur mit einbezogen werden, was beispielsweise von Energie-Transport-Modellen geleistet wird, die zusätzlich die Energiedichte und den Energiestrom beinhalten. Der neuartige und wesentliche Inhalt der Arbeit ist, dass wir in der Lage sind, Modelle mit einer beliebigen Anzahl von Dichte-Strom-Paaren herzuleiten. Die Voraussetzungen sind relativ allgemein, allerdings sind die Grenzübergänge größtenteils nur formal. Es wird aber gezeigt, dass die Diffusionsmatrizen positiv definit sind und daher das ganze System parabolisch ist. Das thermische Gleichgewicht wird durch eine Entropiemaximierung unter Nebenbedingungen definiert und enthält die Maxwell-Boltzmann- und Fermi-Dirac-Statistik. Ferner wird gezeigt, dass weitere Darstellungen wie eine Drift-Diffusions-Formulierung und eine Variante in dualen Entropievariablen möglich sind. Gängige numerische Verfahren sind auf die Gleichungen anwendbar. Das Fermi-Dirac-Energie-Transport-Modell wird diskretisiert mit hybridisierten gemischten finiten Elementen vom Marini-Pietra-Typ in einer Dimension und auf eine ballistische Diode angewandt. Ein iterativer Gummel-Algorithmus wird statt des vollen Newtonverfahrens benutzt, wobei einige Schwierigkeiten bei der Implementation aufgetreten sind. Die Berechnung der Fermi-Integrale wird detailliert beschrieben.<br />

In order to reduce production costs in computer industry, numerical software is used to adjust the semiconductor device parameters, for example to get a desired current-voltage characteristic.<br />Therefore a set of equations is needed to model the transport of electrons, and a common starting point is the Boltzmann equation which is simplified to so-called macroscopic models. The easist one is the drift-diffusion with the electron density and the current density which consists of a drift term and a diffusion term. The temperature is assumed to be constant, and this limitation gets worse with increasing voltages and decreasing characteristic lengths so that the temperature has to be incorporated. The better energy-transport models additionally contain the energy density and the energy current as variables. The new and major aspect of this thesis is that we can derive models with an arbitrary number of density/current pairs and that the assumptions are rather general. The drawback is that the limits are not performed rigorously, however, we can prove the positivity of the diffusion matrices and therefore the parabolic type of the system. The thermal equilibrium is defined by a constraint entropy maximization, including the Maxwell-Boltzmann and the Fermi-Dirac distribution. It is shown that various representations are possible, so the drift-diffusion formulation and a version using dual-entropy variables. Finally, the models are accessible for numerical algorithms. The Fermi-Dirac energy-transport model is discretized using hybridized mixed Marini-Pietra finite elements in one dimension which is applied to a ballistic diode. An iterative Gummel method is used instead of the full Newton scheme, but some difficulties occur during the implementation of the algorithm. The calculation of the Fermi integrals is described in detail.