Trajektorienplanung für die Stokes-Gleichungen

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Trajektorienplanungsaufgabe für fluiddynamische Systeme mit zweidimensionalem Ortsbereich, die durch die Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Die dimensionslosen partiellen Differentialgleichungen des Stokes-Systems im zweidimensionalen Raum stellen den Ausgangspunkt für die Trajektorienplanung dar. Der in dieser Arbeit vorgeschlagene flachheitsbasierte Lösungsansatz basiert auf der spektralen Systemdarstellung des Stokes-Systems und führt auf eine systematische Konstruktion eines flachen Ausgangs, der auf eine Parametrierung der Zustands- und Eingangsgrößen durch Differentialoperatoren unendlicher Ordnung führt. Die Konvergenz der Parametrierungen kann durch den Einbezug der Theorie ganzer Funktionen auf ein Problem der Trajektorienplanung überführt werden. Die Realisierung des analytischen Lösungsansatzes ist im Allgemeinen nicht geschlossen möglich, weshalb ein semi-numerischer Ansatz verfolgt wird. Die Approximation des Stokes-Systems erfolgt durch die örtliche Semi-Diskretisierung der partiellen Differentialgleichungen mit der Finite-Differenzen Methode nach dem MAC-Schema. Anhand des approximierten Systems erfolgt die numerische Realisierung der aus dem Lösungsansatz erzielten Eingangs- und Zustandsparametrierung. Die Simulationsergebnisse für die Anwendung dieses semi-numerischen Lösungsansatzes bestätigen die erzielbare Trajektorienfolge.<br />

The thesis is concerned with the trajectory planning problem for fluid dynamic systems in a two dimensional space described by the Stokes-equations. The dimensionless partial differential equations of the Stokes-system are employed as the starting point to develop a flatness-based solution technique. The proposed approach is based on the spectral system representation of the Stokes-system to systematically construct a basic output for the parametrization of the system states and inputs in terms of differential operators of infinite order. Since it is in general not possible to find closed-form expressions for the discrete spectrum of the Stokes-system, subsequently a semi-numerical approach is realized that utilizes an approximation of the Stokes-system by a semi-discretization in space using the finite differences method according to the MAC-scheme. On the basis of the approximated system the input and state parametrization is numerically realized. Simulation results confirm the achievable trajectory tracking.