Performance modeling of queueing systems using matrix geometric method

Abstract

Modellierungtechniken basierend auf analytischen Methoden spielen in der Evaluierung der Leistungsfhigkeit von Computer- und Kommunikationssystemen eine wichtige Rolle. Ein stochastischer Prozess kann einfach und effizient durch das Studium der Markov-Kette analysiert werden. Dies dient nicht nur der Vereinfachung der Lösungen, sondern untersttzt insbesondere die Parametrisierung der Analyse. Die strukturierten Markov- Ketten zeigen eine spezielle Struktur auch in ihrer Übergangsmatrix, welche genutzt werden kann um mittels vektorisierter Analyse anstelle der skalaren Analyse solche Systeme einfacher und effizient zu Lösen. Die Methoden welche die Struktur der Übergangsmatrix von strukturierten Markov-Ketten nutzen, sind als Matrix Analytische Methoden bekannt. Die Matrix Geometrische Methode ist eine der effizienten Lösungstechniken der Matrix Analytischen Methoden um den stationären Zustandswahrscheinlichkeitsvektor einer strukturierten Markov-Kette zu erhalten. Diese Technik wird nur für stochastische Prozesse verwendet deren stationrer Zustandswahrschein- lichkeitsvektor eine geometrische Abhngigkeit besitzt.<br />Diese Dissertation konzentriert sich auf die Leistungsevaluierung mittels Matrix Geometrischer Methoden von Warteschlangensystemen die einen QBD-Prozesses mit strukturierter Markov-Kette besitzen. Erst werden Systeme mit einer oder mehreren Verarbeitungseinheiten, mit unlimitiertem oder begrenztem Warteraum, als QBD-Prozesse basieren auf Markov-Verteilungen analysiert. Später werden Systeme mit Phasentyp-Verteilungen in Bezug auf verschiedene Leistungsmerkmale untersucht. Danach werden die Effekte der Zustandswechsel von Markov-Modulierten-Poisson-Prozessen (MMPP) mit den Systemen mit MMPP- und Phasentype-Verteilungen analysiert. Zum Abschluss wird das Hysterese Modell mit Schwellwerten als QBD-Prozess für Markov- und Phasentyp-Verteilungen gelöst. Dieses Modell wird schließlich auch in Hinsicht auf das nicht stationäre Verhalten hin analysiert.<br />

Modelling techniques based on analytical methods play an important role in evaluating the performance of computer and communication systems.<br />The stochastic processes can be easily and efficiently analyzed by studying the Markov chains. This helps not only to simplify the solutions but especially assists in parametrization of analysis. The structured Markov chains have a special structure in their transition matrix, which can be used to solve the system more easily and efficiently through the efficient solution method based on the vector form analysis instead of the scalar analysis.<br />The methods which utilize the structure of the transition rate matrices of the structured Markov chain are known as matrix analytic methods. Matrix geometric method is one of the efficient solution techniques of matrix analytic methods for obtaining the steady state probability vector of the structured Markov chain. The technique is applied to only those stochastic processes, whose steady state probability vector exist a geometric relation.<br />This thesis focuses on the performance evaluation of queueing systems as a quasi birth and death process, having structured Markov chain through matrix geometric method. First systems with single server and multiserver are analyzed as a quasi birth and death process, for infinite and finite capacity queue based on Markovian distribution. Then systems with phase type distributions are analyzed for various performance measures. Next the effect of switching between the states of the Markov modulated Poisson process (MMPP) is analyzed through the system with MMPP and phase type distribution. Finally the hysteresis model with thresholds is solved as a quasi birth and death process for Markovian and phase type distribution.<br />This model is then analyzed for the transient behavior of the system as well.