Mapped Tent Pitching schemes for hyperbolic systems

Abstract

Diese Arbeit behandelt eine Lösungsmethode für zeitabhängige hyperbolische Probleme, wie zum Beispiel die Maxwell- oder Eulergleichungen. Hyperbolische Probleme haben eine wohldefinierte Ausbreitungsgeschwindigkeit, welche im Weiteren dazu verwendet wird, das Raum-Zeit Gebiet in zeltförmige Elemente zu unterteilen. Diese zeltförmigen Raum-Zeit Elemente werden "tents" genannt und durch einen "Tent Pitching Algorithmus" erzeugt. Der "Tent Pitching Algorithmus" verwendet dabei immer die lokale Ausbreitungsgeschwindigkeit, daher passt sich der lokale Zeitschritt automatisch an diese und an die Elementgröße der räumlichen Zerlegung an. Um nun Raum und Zeit getrennt voneinander diskretisieren zu können, werden die "tents" auf Raum-Zeit Zylinder, ein Tensorprodukt von Raum und Zeit, transformiert. Auf den transformierten "tents" wird dann für die räumliche Diskretisierung eine Discontinuous Galerkin Methode verwendet. Das sich daraus ergebende System von gewöhnlichen Differentialgleichungen kann dann mittels expliziter oder impliziter Zeitschrittverfahren gelöst werden. Durch die Verwendung von impliziten Runge-Kutta Verfahren ergibt sich eine speicherintensive Methode, welche durch den großen Speicherbedarf nur begrenzt eingesetzt werden kann. Im Gegensatz dazu ergibt sich durch explizite Runge-Kutta Verfahren eine Methode mit sehr geringem Speicherbedarf. In Verbindung mit obiger Transformation führt dies allerdings, unabhängig von der Polynomordnung der räumlichen Diskretisierung, zu linearen Konvergenzraten. Um die zu erwartende höhere Konvergenzordnung wiederherzustellen, werden in dieser Arbeit spezielle explizite Zeitschrittverfahren entwickelt, welche die durch die Transformation auftretenden strukturellen Eigenschaften beachtet. Diese Konvergenzraten werden in weiterer Folge mit numerischen Beispielen belegt und es werden die Stabilitätseigenschaften der resultierenden Methode diskutiert. Abschließend wird die Anwendbarkeit dieser Methode anhand verschiedenster hyperbolischer Probleme demonstriert.

This thesis introduces Mapped Tent Pitching (MTP) methods for hyperbolic systems. These hyperbolic system, like the Maxwell equations or the Euler equations, have a well-defined speed of propagation, which can be used to partition the spacetime domain using tent-shaped elements. These spacetime elements, denoted as tents, are generated with a tent pitching algorithm and mapped to spacetime cylinders, which allows to discretize space and time independently. Tent pitched meshes adapt to varying speeds of propagation and different sized spatial mesh leading to a naturally built in local time stepping. The spatial discretization using a high order discontinuous Galerkin method leads to a system of ordinary differential equations, which can be solved by implicit or explicit time stepping methods. Although locally implicit MTP methods based on implicit Runge-Kutta schemes for the temporal discretization show high order convergence, the memory is a limiting factor for these methods. Fully explicit methods have a low memory consumption, but they are limited to first order when using standard methods for the temporal discretization. To overcome this convergence order reduction, we construct suitable explicit time stepping schemes to propagate hyperbolic solutions within these tent-shaped spacetime elements. These structure aware time stepping schemes recover the high order convergence for linear and nonlinear problems. To demonstrate the optimal convergence rates, we apply these MTP methods using structure aware times stepping schemes to various linear and nonlinear hyperbolic systems. Further we report the discrete stability properties of these methods applied to linear hyperbolic equations.