Theóremès d'Erdős-Wintner effectifs

Abstract

Natürliche ganze Zahlen eignen sich für mehrere Darstellungsformen. Unter Am grundlegendsten sind die Primfaktorenzerlegung und Darstellung in einem Ziffernsystem. In der Literatur wurden in natürlicher Weise dazugehörige Morphismen, d.h. arithmetische Funktionen, die die zugrunde liegende Strukturen respektieren, betrachtet. Additive Funktionen transportieren die multiplikative Struktur der natürlichen zur additiven Struktur der komplexen Zahlen; additive q-additive Funktionen transportieren die q-adische Darstellung derselben additiven Struktur der komplexen Zahlen. Das berühmte Erdös-Wintner-Theorem liefert eine vollständige Antwort auf die Frage nach der Existenz eines Grenzverteilungsgesetzes für additive Funktionen. Für andere Darstellungssysteme wurden analoge Aussagen getroffen, wie zB für die q-adische oder Cantor-Zifferndarstellungen. Für die Zeckendorfentwicklung gab es bisher nur Teilantworten.In dieser Arbeit lösen wir einerseits das Problem für die Zeckendorfentwicklung vollständigund andererseits stellen wir effektive Versionen der obigen Sätze auf.

Natural integers lend themselves to multiple forms of representation. Amongthe most fundamental are prime factors decomposition and representation ina numeral system. The literature has therefore naturally been interested inassociated morphisms, that is, arithmetic functions that respect the under-lying structures. Additive functions transport the multiplicative structure ofthe natural numbers to the additive structure of the complex numbers; additive q -additive functions transport the q -adic representation to this same additive structure of the complex number field.The famous Erdös-Wintner theorem provides a complete answer to thequestion of the existence of a limit distribution law for additive functions.Analogous statements have been established for other representation sys-tems, such as q -adic or Cantor representations. A partial version is knownfor the representation in the Zeckendorf base. In this work we propose onthe one hand to complete this last statement and, on the other hand, toestablish effective versions of the above theorems.