Generalized Steiner points maps

Abstract

Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit der Dimensionsformel des Vektorraums der stetigen translationsinvarianten und U(n) äquivarianten vektorwertigen Bewertungen auf konvexen Körpern. Der Beweis basiert auf einer Arbeit von Wannerer (Adv. Math. 263, 2014), in der diese Dimension erstmals bestimmt wurde.Für den Beweis der Dimensionsformel werden Techniken aus der Integralgeometrie und der Darstellungstheorie kompakter Liegruppen angewandt. Die ersten Kapitel beginnen mit einer Einführung in die zentralen Problemstellungen der Integralgeometrie und das klassische Analogon der Steiner Punkt Charakterisierung nach Schneider (Israel J. Math. 9, 1971) wird gezeigt. Danach widmet sich die Arbeit den benötigten Grundlagen aus der Theorie kompakter Lie Gruppen und ihrer assoziierten Lie Algebren. Es wird eine abstrakte Version des Hadwigerschen Charakterisierungssatzes von Alesker, Bernig und Schuster (GAFA 21, 2011) aufgearbeitet, eine abstrakte Dimensionsformel für den Raum der translationsinvarianten und SO(n) äquivarianten Bewertungen mit Werten in beliebigen endlich-dimensionalen SO(n) Modulen. Das letzte Kapitel ist dem Beweis der Dimensionsformel des Vektorraums der translationsinvarianten und U(n) äquivarianten vektorwertigen Bewertungen auf konvexen Körpern gewidmet. Es wird eine Dekompositionsformel für Produkte irreduzibler Darstellungen einer Lie Algebra von Klimyk (American Mathematical Society Translations Series 2 Vol. 76, 1968) sowie ein Theorem von Helgason zur Charakterisierung sphärischer Darstellungen (Takeuchi, Modern Spherical Functions, American Mathematical Society, 1994) betrachtet. Nach dem Beweis der Dimensionsformel wird die klassische Steiner Punkt Charakterisierung jener der unitären Steiner Punkte gegenübergestellt: Die Steiner Punkt Abbildung ist die eindeutige stetige translations- und SO(n) äquivariante Bewertung von den n-dimensionalen konvexen Körpern in den n-dimensionalen Vektorraum über den reellen Zahlen. Wird die Äquivarianz auf unitär affine Transformationen eingeschränkt, so resultiert daraus der komplexe affine Vektorraum der unitären Steiner Punkt Abbildungen der Dimension 2k^2-k für n=2k und 2k^2+k für n=2k+1.

This Thesis follows up with the formula for the dimension of the vector space of continuous translation invariant and U(n) equivariant vector valued valuations on convex bodies. The proof is based on the work of Wannerer (Adv. Math. 263, 2014), where this dimension was first determined. In order to prove the dimension formula techniques from integral geometry and representation theory are applied. The first chapters begin with an introduction to the central problems of integral geometry and the classical analogue to the Steiner point characterization by Schneider (Israel J. Math. 9, 1971) is shown. Afterwards this work pursues the needed foundations of the theory of compact Lie groups and their associated Lie algebras. An abstract version of the Hadwiger characterization theorem by Alesker, Bernig and Schuster (GAFA 21, 2011) is processed, an abstract dimension formula for the space of translation invariant SO(n) equivariant valuations with values in an arbitrary finite-dimensional SO module. The last chapter states the proof of the dimension formula for the dimension of the vector space of continuous translation invariant and U(n) equivariant vector valued valuations on convex bodies. A decomposition formula for products of irreducible representations of a Lie algebra by Klimyk (American Mathematical Society Translations Series 2 Vol. 76, 1968) as well a theorem by Helgason characterizing spherical representations (Takeuchi, Modern Spherical Functions, American Mathematical Society, 1994) are recalled. After the proof of the dimension formula, the classical Steiner point characterization is compared to the case of unitary Steiner points:The Steiner point map is the unique continuous translation- and SO(n) equivariant valuation from the n-dimensional convex bodies into the n-dimensional vector space over the real numbers. If however, equivariance is restricted to the unitary affine transformations then the resulting complex affine vector space of unitary Steiner point maps is of dimension 2k^2-k for n=2k and 2k^2+k for n=2k+1.