p-version projection based interpolation

Abstract

In der vorliegenden Arbeit definieren wir auf dem Referenztetraeder K Interpolationsoperatoren für die p-Methode der FEM. Diese werden auf den Räumen H 2(K), H 1(K,curl) und H (1/2)(K,div)$ definiert, und wir zeigen, dass diese Operatoren Projektionen auf Polynomräume sind, mit Ableitungsoperatoren vertauschen und bei Erhöhung des Polynomgrades gewissen Approximationseigenschaften genügen. Zusätzlich ist die Spur des Interpolanten am Rand vollständig durch die Spur der Funktion bestimmt, weshalb man Interpolationsoperatoren auf einem Gitter elementweise durch Transformation der Operatoren am Referenzelement konstruieren kann. Projektionsbasierte Interpolationsoperatoren wurden von L. Demkowicz und Koautoren eingeführt. Diese Operatoren haben optimale Konvergenzeigenschaften (für p gegen unendlich), abgesehen von logarithmischen Faktoren. In der vorliegenden Arbeit werden die logarithmischen Faktoren entfernt. Allerdings benötigen wir höhere Regularitätsvoraussetzungen als Demkowicz. Wir untersuchen auch den Interpolationsfehler in negativen Sobolevnormen. In 2D wird die schwächstmögliche negative Norm durch die maximale Regularität von Lösungen des Poissonproblems bestimmt, was von der Verwendung von Dualitätsargumenten stammt. In 3D bekommen wir ebenfalls Abschätzungen in negativen Normen, wobei wir hier die Tatsache verwenden, dass Tetraeder konvex sind, um mehr Regularität von Lösungen zu erhalten. In dieser Arbeit untersuchen wir auch die Regularität von Lösungen der Poisson-Gleichung -\Delta u = f auf Polygonen Omega in zwei Raumdimensionen, sowohl für Dirichlet-, als auch Neumann-Randbedingungen ("Shift theorem"). Bezeichnen wir mit omega den Innenwinkel von Omega bei einer Ecke, so können wir das Shift Theorem für Funktionen in Sobolevräumen zeigen (für eine gegebene rechte Seite f, die nahe einer Ecke im Raum H (-1+s),

In this thesis, we define p-version projection-based interpolation operators on the reference tetrahedron K. These are defined on the spaces H 2(K), H 1(K,curl)$ and H (1/2)(K,div), and we show that they are projections onto polynomial spaces, that they satisfy a commuting diagram property and that they have suitable approximation properties, when increasing the polynomial degree. Additionally, the trace of the interpolant on the boundary is fully determined by the trace of the function, which allows the construction of interpolation operators on a grid in an element-wise fashion by transformation of the operators on the reference element. Projection-based interpolation operators were introduced by L. Demkowicz and several coworkers. These operators have optimal approximation properties (as p to infinity) up to logarithmic factors. In this thesis, the logarithmic factor is removed. The regularity requirement is, however, stronger than in the work of Demkowicz. We also get interpolation error estimates in negative Sobolev norms. In 2D, the weakest possible negative norm is here determined by the maximal regularity for solutions of the Poisson problem, since we use duality arguments. In 3D, we also obtain estimates in negative norms. Here we use the fact that the convexity of tetrahedra allows more regularity for the Poisson problem. In this work, we also analyze regularity of solutions for the Poisson equation -\Delta u = f on polygons Omega in 2D, both for Dirichlet and Neumann boundary conditions ("Shift theorem"). Denoting omega the interior angle of Omega at a corner, we show the shift theorem for functions in Sobolev spaces (for a right-hand side f that is in H (-1+s) with