On the Generation of Minimal Surfaces

Abstract

Minimalflächen, die durch das Verschwinden ihrer mittleren Krümmung charakterisiert sind, haben Mathematiker/-innen aufgrund ihrer geometrischen Aspekte sowie als variationelles Problem oder aus der Sicht der partiellen Differentialgleichungen, seit Mitte des 18. Jhd. fasziniert. Sie finden auch außerhalb der Mathematik zahlreiche Anwendungen, beispielsweise im 3D-Druck zur Erzeugung von stabilen Objekten mit geringem Gewicht, in den Materialwissenschaften, der Physik und wegen ihrer ästhetischen Erscheinung auch in der Architektur. In dieser Arbeit stellen wir einen neuartigen Ansatz vor,um aus drei bekannten Minimalflächen, welche nicht alle der gleichen assoziierten Familie angehören, neue Flächen zu erzeugen, die in jeder Polstellen-freien Umgebung, Minimalflächen darstellen. Dazu identifizieren wir holomorphe, isotrope Funktionen, sogenannte Minimalkurven, mit Punkten auf einer projektiven Quadrik und bilden den Kegelschnitt mit der Ebene bestehend aus drei paarweise verschiedenen Minimalkurven. Im Fall von algebraischen Minimalflächen ist die resultierende Funktion meromorph und der Weierstraßsche Darstellungssatz kann angewendet werden. Wir verifizieren Minimalflächen aus derselben assoziierten Familie als Erzeugende auf der Quadrik, die ein Kegel ist. Zahlreiche so erhaltene Flächen werden visualisiert sowie auch die Verformungen der Minimalflächen entlang des Kegelschnitts. Weiters verwenden wir die Christoffel Dualität und Möbiustransformation, um weitere Minimalflächen für unseren Algorithmus zu erhalten. Zusätzlich, wird ein 3D Model einer generierten Fläche erzeugt und gedruckt.

Minimal surfaces, characterized as those with vanishing mean curvature, fascinate mathematicians since the mid-18th century due to their geometric properties, as a problem of calculus of variations or of partial differential equations. Their multifaceted applications are not restricted to mathematics, but also extend to 3D printing for the production of lightweight structures, to material science as well as physics and, due to their aesthetic appearance, also to architecture. In this thesis we present a novel approach to generate surfaces from three known minimal surfaces not belonging to the same associated family, which represent, locally in a pole-free neighborhood, minimal surfaces themselves. For this purpose, we identify minimal curves as points on a projective quadric and build the conic section with the plane spanned by three pairwise different minimal curves. In the case of three algebraic minimal surfaces, the resulting minimal curve is meromorphic and we can make use of the Weierstrass representation theorem. We verify minimal surfaces of an associated family as the rulings on the quadric, which is a cone. Several surfaces obtained via this construction are visualized as well as the deformation of minimal surfaces, like Enneper’s surfaces, along the conic section. Further, we use the Christoffel dual and Möbiustransformation to obtain further surfaces and use them as initial minimal curves in our algorithm. Additionally, a 3D model of a generated surface is created and printed.