Analytical calculation of two-particle vertices for multiorbital Hubbard atom

Abstract

Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Berechnung der Zwei-Teilchen Vertices für ein multiorbitales Hubbard Atom im atomaren Limit. In diesem Limit zeigen sich wichtige Charakteristika des physikalischen Bilds stark wechselwirkender Elektronen, während die exakten Energieeigenzustände und die Ein-Teilchen Green's Funktionen relativ leicht kalkulierbar sind. Die Berechnung der Zwei-Teilchen Korrelationsfunktionen, speziell im multiorbitalen Fall, stellt aber eine Herausforderung dar. Außerdem gab es bisher keine universell anwendbare Methode, um die Zwei-Teilchen irreduziblen Vertices zu erhalten. Im Fall des Modells mit einem Orbital und halber Füllung konnte eine Lösung mithilfe einer komplizierten Inversion der Bethe-Salpeter Gleichung gefunden werden, was aber nur aufgrund der speziellen Matrixstruktur in diesem Fall gelungen ist. In dieser Arbeit wird eine universelle Methode zur analytischen Berechnung der irreduziblen Vertices vorgestellt und getestet. Zusätzlich wurde eine determinantenbasierte Methode für die approximative Suche nach Vertexdivergenzen entwickelt, die im Falle lokaler Divergenzen exakte Werte findet. Die neue in dieser Arbeit entwickelte Methode zur analytischen Berechnung des irreduziblen Vertex basiert auf einem Polentwicklungsansatz. Einsetzen des Ansatzes in die Bethe-Salpeter-Gleichung erlaubt es, exakte analytische Lösungen für die irreduziblen Vertices zu erhalten. Diese Methode wird für den Fall des einorbitalen Hubbard-Atoms mit halber Füllung getestet und wird auf die Fälle außerhalb halber Füllung und im zweiorbitalen Fall für ausgewählte Vertices angewendet. Die neue Technik zum Aufspüren von Vertexdivergenzen basierend auf der Determinante der generalisierten Suszeptibilitätsmatrix wird ebenfalls für das einorbitale Hubbard Atom mit halber Füllung getestet und wird dann außerhalb halber Füllung und auf den zweiorbitalen Fall angewendet. Weiters wird ein kurzer Exkurs in das Feld der Holografie präsentiert, wo unter anderem Grenzen für Lyapunov Exponenten für den Fall des Hubbard Atoms berechnet werden. Alle analytischen Resultate sind in wiederverwendbaren Mathematica Notebooks gesammelt. Die weitere Suche nach analytischen Ausdrücken von Zwei-Teilchen Vertices sowie Vertexdivergenzen für kompliziertere Fälle wird dadurch erleichtert.

This thesis targets the calculation of two-particle vertices for a multiorbital Hubbard model in the atomic limit. In this limit, crucial elements of the physical picture of strongly interacting electrons are present and at the same time the exact energy eigenstates as well as one-particle Green's functions are relatively easy to obtain in an analytic form. The two-particle correlation functions present, however, already a formidable task, especially for more than one orbital. Furthermore, there was hitherto no universal recipe how to analytically obtain the irreducible two-particle vertices. For the half-filled single-orbital model this was done by a complicated inversion of the Bethe-Salpeter equation, which is only possible thanks to a special matrix structure in this particular case. In this thesis, a universal method for obtaining irreducible vertices is presented and tested. Additionally, a determinant based method for an approximate search of vertex divergences was found, which yields the exact values in case of local divergences. The new method for analytically calculating the irreducible vertex developed in this thesis is based on a pole expansion ansatz. Inserting this ansatz in the Bethe-Salpeter equation allows for finding exact analytical expressions for irreducible vertices. This method is tested for the half-filled single-orbital Hubbard atom and applied out of half-filling and in the two-orbital case for selected vertices. The new way of finding vertex divergences, based on the determinant of the generalized susceptibility matrix, is also tested for the half-filled single-orbital case and then applied out of half-filling and in the two-orbital Hubbard atom. The development of the resulting vertex divergences as a function of doping and inter-orbital interaction is investigated. Additionally, a short excursion into the field of holography is presented and out-of-time-order correlation functions as well as bounds for Lyapunov exponents are calculated for the case of Hubbard atom. All analytical results are gathered in form of reusable Mathematica notebooks. Further search for analytical expressions for two-particle vertices as well as vertex divergences in more complicated cases is thus facilitated.