Modeling aortic blood pressure with difference equations

Abstract

Bluthochdruck ist weltweit ein bedeutender Risikofaktor für Todesfälle. Um Diagnose- und Präventionsmaßnahmen zu verbessern, ist es notwendig, die zugrundeliegenden Dynamiken des Herzkreislaufsystems zu verstehen, wobei mathematische Modelle hilfreich sein können. Während viele Aspekte des Blutdrucks in früheren Modellen diskutiert wurden, wird das Konzept der Re-Reflexionen von Blutdruckwellen am Herzen bisher kaum berücksichtigt. In dieser Arbeit wird ein einfaches Differenzengleichungsmodell entwickelt und präsentiert, welches die zeitlichen Veränderungen des Blutdrucks in der Aorta, der größten Arterie des menschlichen Körpers, beschreibt. Das Modell behandelt Reflexionen von Blutdruckwellen im arteriellen System sowie Re-Reflexionen am Herzen. Dabei wird die Anzahl der Reflexionsstellen im arteriellen System variiert, sodass verschiedene Versionen des Modells entstehen. Die Reflexion am Herzen wird als konstant, aber auch, motiviert durch das periodische Öffnen und Schließen der Aortenklappe, als zeitabhängig angenommen. Weitere Parameter sind die Geschwindigkeit der Pulswelle, die Entfernung zu den Reflexionsstellen, die Stärke der Reflexion an diesen sowie die Herzrate. Da die Modellparameter physiologischen Parametern entsprechen, können Referenzwerte aus der Literatur angegeben werden. Die Eigenschaften des Modells werden ausführlich diskutiert, sowohl analytisch als auch numerisch. Für die analytische Diskussion wird auf Theorie über Differenzengleichungen zurückgegriffen, die für das Modell mit einer Reflexionsstelle auch eine explizite Lösung liefert. Die Modellgleichungen werden dann in Matlab implementiert. Der Vergleich von Blutdruckkurven, die durch die Modellgleichungen generiert wurden, mit einer bei Patienten gemessenen zeigt die Eignung des Modells zur Beschreibung von Blutdruckdynamiken, abhängig von der Wahl der Parameter. Die Analyse des Einflusses der verschiedenen Parameter auf Form und Größenordnung der erzeugten Kurven zeigt viele Parallelen zu früheren Resultaten auf, was die Brauchbarkeit des Modells untermauert. Jene Beobachtungen, die keine Entsprechung in der Literatur haben, helfen beim Verständnis des Modells. Es zeigt sich, dass die Resultate verbessert werden können, wenn das Modell verfeinert wird, was weitere Forschung auf dem Gebiet motiviert. Eine solche Verfeinerung kann durch die Hinzunahme weiterer Reflexionsstellen, aber auch durch die genauere Modellierung der Reflexion am Herzen erzielt werden.

Elevated blood pressure is a major cause of death not only in developed countries. In order to improve diagnosis and prevention it is crucial to understand the underlying dynamics. Mathematical models can help with this. While many aspects of blood pressure have been considered by previous researchers, the concept of re-re ections of blood pressure waves at the heart has been neglected in most models. In this thesis a simple difference equation model is developed and presented. It describes blood pressure development over time in the aorta, the largest artery of the human body, depending on parameters that characterize both the heart and the arterial system. Reflections both at one and more sites in the arterial system as well as re-refections at the heart are considered. Different versions of the model are obtained by varying the number of reflection sites in the arterial system. Reflection at the heart is assumed both constant and time-dependent, motivated by the periodic behavior of the aortic valve. Further parameters include pulse wave velocity, distance to the reflection sites, reflection magnitudes and heart rate. Since the model parameters are linked to physiological parameters, reference values can be found in literature. The model is discussed thoroughly, both analytically, using difference equation theory, and numerically. For the simplest versions of the model, considering only one reflection site, it is possible to solve the equations directly. To conduct numerical analysis the model is implemented in Matlab. Comparison of blood pressure curves generated by the model and blood pressure curves measured in patients demonstrates that the model is able to represent reality to some extent, depending on the choice of parameters. Studying the influence of different parameters on shape and magnitude of modeled curves reveals parallels to previous results which confirms the model's usefulness. Some observations, however, do not have a counterpart in literature. They increase understanding of the model. It is shown that results can be improved by refining the model, motivating further research in the field. Refinement can be obtained by increasing the number of reflection sites and by a more detailed description of reflections at the heart.