Reducts of countable vector spaces over finite fields

Abstract

Wir untersuchen die Redukte eines abzählbar unendlichen Vektorraums über einem Primkörper ungerader Charakteristik. Insbesondere beantworten wir die Frage, ob die Anzahl solcher Redukte bis auf Interdefinierbarkeit endlich ist oder nicht. Wir verwenden eine Verbindung, die durch das Ryll-Nardzewski-Theorem gegeben ist: die Redukte einer abzählbaren ω-kategorischenStruktur entsprechen, bis auf Interdefinierbarkeit, genau den abgeschlossenen Permutationsgruppen auf der Domäne der Struktur, die deren Automorphismen enthalten. Nachdem ein abzählbar unendlicher Vektorraum über einem endlichen Körper ω-kategorisch ist, untersuchen wir also die abgeschlossenen Permutationsgruppen auf der Menge der Vektoren, die über den Vektorraumautomorphismen liegen. Wir beginnen mit den Permutationsgruppen, die den Nullvektor festhalten, und gehen danach über zu den Permutationsgruppen, die den Nullvektor verschieben können. Wir können zeigen, dass es tatsächlich nur endlich viele solcher Gruppen gibt. Insbesondere schließen wir daraus, dass ein abzählbar unendlicher Vektorraum über einem endlichen Primkörper ungerader Charakteristik, bis auf Interdefinierbarkeit, nur endlich viele Redukte hat.

We investigate the first-order reducts of a countably infinite vector space over a prime field of odd characteristic. In particular we answer the question whether or not the number of such reducts is finite up to interdefinability. We utilize a connection given by the Ryll-Nardzewski Theorem,namely that the first-order reducts of an ω-categorical structure are,up to interdefinability, in one-to-one correspondence with the closed permutation groups on the domain of said structure which contain its automorphisms. Since any countable vector space over a finite field is ω-categorical, we examine the closed permutation groups on the set of vectors which contain the vector space automorphisms. We start with the closed permutation groups on the set of vectors which fix the zero vector, and then continue with groups which specifically do move the zero vector. We are able to show that there exist indeed only finitely many such groups. From this we immediately obtain that there are, up to interdefinability, only finitely many first-order reducts of our structure.