A space-time adaptive algorithm for linear parabolic problems

Abstract

In der vorliegenden Arbeit werden modellhaft lineare parabolische Differentialgleichungen mit zeit- und ortsabhängigen Koeffizienten betrachtet. Solche Probleme treten z.B. bei der Berechnung von Temperaturverteilungen durch Wärmeleitung auf. Auch die Ausbreitung von Verunreinigungen in Grundwasser lässt sich analog modellieren.<br />In dieser Arbeit wird zunächst der mathematische Rahmen für die Analysis elliptischer und parabolischer Differentialgleichungen wiederholt. Die Diskretisierung der kontinuierlichen parabolischen Gleichung erfolgt mit Hilfe der Linienmethode. Wir verwenden das implizite Euler-Verfahren in der Zeit und eine konforme P 1-Finite Elemente Methode im Ort.<br />Ausgehend von einer Arbeit von Verfürth für parabolische Gleichungen mit konstanten Koeffizienten leiten wir eine a posteriori Fehlerabschätzung für Probleme mit zeit- und ortsabhängigen Koeffizienten her, die den Gesamtfehler zu einem Zeitpunkt T>0 in der Energienorm des Problems zuverlässig und effizient schätzt. Eine wesentliche Aufgabe der Arbeit war die Umsetzung der hergeleiteten Fehlerabschätzung in Form eines adaptiven Algorithmus zur numerischen Lösung linearer parabolischer Gleichungen. Dabei werden im Lösungsprozess sowohl die Zeitschrittweite als auch die lokale Netzweite der Ortsdiskretisierung selbstständig und unabhängig voneinander an eine vorgegebene Toleranz angepasst. Dabei verwenden wir die Heuristik, dass die räumlichen und zeitlichen Beiträge des Residuums unabhängig voneinander sind. Die entwickelte adaptive Strategie erlaubt insbesondere die Verfeinerung und Vergröberung des Netzes in aufeinanderfolgenden Zeitschritten.<br />Die Implementierung des adaptiven Algorithmus erfolgt in Matlab. Bei der Realisierung wird darauf geachtet, Matlabs effiziente Vektorrechnung möglichst weitgehend auszunützen.<br />Speziell werden alle auftretenden Matrizen vektorisiert und insbesondere ohne Verwendung von Schleifen assembliert. Abschließend testen wir den vorgestellten Algorithmus in numerischen Experimenten. Dabei zeigt sich, dass die adaptive Strategie auch in praktischen Beispielen einer uniformen Strategie weit überlegen ist.<br />

The scope of this work is to develop a space-time adaptive algorithm to solve linear parabolic problems numerically. We stress that the coefficients of the linear equation may depend on space and time themselves.<br />Starting with the presentation of the mathematical tools required for the analysis, we discretize the continuous parabolic equation with the method of lines. Furthermore, we use the backward Euler scheme and a P 1-finite element method for the spatial discretization.<br />To obtain a reliable and efficient algorithm, we derive a residual-based a posteriori error estimator which provides upper and lower bounds of the error measured in the energy norm.<br />One of the main goals of this work is the development of an adaptive algorithm, which controls time step size as well as spatial mesh size separately. In particular we present a strategy, where the mesh may be refined and/or coarsened for consequent time steps. The implementation is done in Matlab. We stress that all codes use Matlabs effizient vectorization - all matrices are assembled without any loops.<br />Finally, we test the developed algorithm on certain numerical experiments. The adaptive algorithm proves to be decisively superior to uniform strategies.