Numerische Methoden zur starken Approximation von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen mit Sprüngen

Abstract

Zufällige dynamische Systeme in finanzmathematischen, bioökonomischen und anderen Anwendungsgebieten werden oft durch stochastische Differentialgleichungen mit Sprüngen (JSODEs) modelliert.<br />Doch nur eine kleine Klasse von JSODEs besitzt eine explizite Lösung und deswegen sind numerische Verfahren zur Näherung der Lösung überaus wichtig. Diese Arbeit beginnt damit zuerst den benötigten stochastischen Integralbegriff zu entwickeln und danach JSODEs allgemein einzuführen.<br />Im Weiteren wird ein Existenz- und Eindeutigkeitsresultat für JSODEs präsentiert. Im zweiten zentralen Teil der Arbeit werden die Grundlagen der stochastischen Numerik v.a. im Bezug auf starke Konvergenz von semi-impliziten Ein-Schritt-Verfahren diskutiert. Ein Konvergenzbeweis basierend auf numerischer Stabilität der Verfahren wird präsentiert. Als Beispiele derartiger Methoden werden stochastische Theta-Maruyama Methoden und stochastische Runge-Kutte Verfahren der Ordnung 0.5, die auf Ableitungen in der Approximation verzichten angeführt und ihre Konvergenz bewiesen. Speziell wird das Verhalten des globalen Fehlers dieser Verfahren für Probleme mit kleinem Rauschen untersucht. Zum Abschluß werden noch numerische Experimente bezüglich der Genauigkeit einiger ausgew\"ahlter Verfahren präsentiert.<br />

Random dynamical systems in financial applications, bioeconomics and other areas of research are often modelled by stochastic ordinary differential equations of jump type (JSODEs). Only a limited class of JSODEs admits an explicit solution and consequently methods for the numerical approximation of solutions become very important. In this thesis we begin with the construction of stochastic integrals w.r.t.<br />random measures and afterwards introduce the JSODEs and stochastic calculus for their treatment. Subsequently we present existence and uniqueness results for JSODEs. Further we discuss the basic concepts of stochastic numerics particularly for semi-implicit one-step methods for the strong approximation of solutions to JSODEs. A convergence proof of such methods under certain conditions on the increment function is presented. As examples of such methods we consider stochastic Theta-Maruyama methods and additionally propose classes of derivative-free strong order 0.5 stochastic Runge-Kutta (SRK) schemes and prove their convergence. Particularly the error behaviour of these methods is analysed for problems with small noise. Finally, numerical experiments on the accuracy of several methods are presented.