Smoothness analysis of nonlinear subdivision schemes on regular grids

Abstract

Die vorliegende Dissertation "Smoothness analysis of nonlinear subdivison schemes on grids" behandelt die Analyse von Konvergenz und Glattheit multivariater Unterteilungsalgorithmen. Lineare Unterteilungsalgorithmen im allgemeinen gehen auf G. de Rham zurück und stellen seit langem ein interessantes Thema in Approximationstheorie (vom theoretischen Standpunkt) und Computergraphik (vom Anwendungsstandpunkt) dar. Die zugehörige Theorie im sogenannten stationären Gitterfall kann mittlerweile als vollständig bezeichnet werden. Hingegen sind nichtlineare Unterteilungsalgorithmen nur vereinzelt und erst in jüngerer Zeit systematisch untersucht worden. Die Methode der Proximität, die von Abschätzungen der Distanz zwischen linearen und davon abgeleiteten nichtlinearen Unterteilungsschemate ausgeht, und die vorher schon im univariaten Fall eingesetzt worden ist, ist in dieser Dissertation auf den multivariaten Fall ausgeweitet worden. Zuerst wird die lineare Therie aus den Arbeiten von A.<br />Cavaretta, W. Dahmen und C. Miccelli verallgemeinert werden. Danach wird gezeigt, dass Proximitätsungleichungen zur gewünschten $C k$-Glattheit der Limiten von nichtlinearen Algorithmen führen. Danach werden für einige Klassen von nichtlinearen Schemata die Proximitätsbedingungen für $k=0,1,2$ verifiziert, nämlich für geodätische Unterteilungsalgorithmen, für die sogenannte Modifikation durch Projektion, und für die log-exp analogie. Anwendungen auf das geometrische Modellieren in der euklidischen Bewegungsgruppe schließen die Arbeit ab.<br />

The present thesis entitled "Smoothness analysis of nonlinear subdivison schemes on grids" treats the analysis of convergence resp.<br />smoothness of nonlinear subdivison schemes. The theory of linear subdivision schemes goes back to G. de Rham. Ever since it has provided a fruitful and interesting Topic in Approximation Theory (from the theoretical viewpoint) and Computer Graphics (from the application viewpoint). The theory of linear subdivision schemes can be considered complete. The nonlinear theory, however, is still at its infancy. It has only been recently that it has been systematically investigated. The method of proximity, which is based on estimates of the distance between linear and nonlinear subdivison schemes has been successfully used for the univariate case. The present thesis extends this method to the multivariate setting. First, we extend the linear theory to fit our needs, generalizing results from A. Cavaretta, W. Dahmen and C.<br />Miccelli. Then we prove that proximity inequalities lead to $C k$ smoothness of nonlinear schemes. Next we verify the proximity conditions for some types of nonlinear schemes for $k=0,1,2$, namely the geodesic analogue, the projection analogue and the log-exp analogue. The thesis closes with an application in motion design.