Quasi-interpolation operators for hp-finite element methods

Abstract

In dieser Arbeit werden verschieden Quasi-Interpolationsoperatoren präsentiert. Dies sind Operatoren die in Räume stückweiser polynomieller Funktionen abbilden, und selbst für Funktionen mit geringer Regularität optimale Konvergenzraten liefern. Im Kontext von Finiten Element Methoden werden solche Operatoren für Konvergenzaussagen und a-posteriori Fehlerschätzung benötigt.<br />Wir präsentieren zuerst h- und p-Operatoren und betrachten dabei die beiden Fälle L2 und Lp getrennt.<br />Der darauf folgende Konstruktion eines hp-Operators liegt die Zerlegung einer Funktion in Knoten-, Kanten- und Elementanteile zugrunde. Für diese Zerlegung verwenden wir klassische Faltungsoperatoren, wobei wir den Faltungsparameter selbst als eine vom zugrundeliegenden Gitter abhängige Funktion wählen.<br />Wir erhalten einen Operator, der auf Funktionen geringer Regularität operiert und, dessen Approximationseigenschaften durch die Gitterweite und durch die Approximationsgüte quantifiziert werden kann.<br />

This diploma thesis deals with the approximation of non-smooth functions. We present several quasi-interpolation operators, that is, interpolation operators mapping into spaces of piecewise polynomials and achieving optimal rates of convergence also for functions with low regularity.<br />Operators of this type are applied traditionally in the context of finite element methods to show convergence or to analyse residual a-posteriori error-estimators.<br />First, we present h- and p-version operators. We study the case of L2 and the general Lp case separately.<br />The rest of the work is concerned with the construction of an hp-interpolation operator.<br />To that end, we decompose a function u into different parts: Vertex-, edge- and element-parts. This notation refers to the fact that the parts have support only on patches associated with vertices, edges or elements. For the decomposition, we employ a slight modification of classical convolution-type operators. The particular feature of our approach is that we choose the averaging length-scale of the convolution to be a function which is associated with the given mesh.<br />We construct a first hp-quasi-interpolation operator which acts on function with high regularity. To improve this result, another smoothing step is introduced, which leads to an operator that acts on functions with less regularity.<br />The final theorem quantifies the approximation properties of this operator both in terms of the local mesh size and the local approximation order.