An evaluation of Fourier methods in risk theory

Abstract

Ziel dieser Diplomarbeit ist es eine Anwendung der fast Fourier Transformation und der fractional Fourier Transformation in der Risikotheorie zu demonstrieren. Das erste Kapitel dient als Einführung in die diskrete- und in die fast Fourier Transformation. Letztere dient zur schnelleren Berechnung, sofern die Anzahl m der Stützstellen als Potenz von 2 gewählt wird. Beide Verfahren werden in C++ implementiert und mit der in MATLAB bereits implementierten fast Fourier Transformation verglichen. Da sich MATLAB als schneller erweist, wird in Folge MATLAB verwendet. Kapitel 2 dient als Einführung in die Risikotheorie und beinhaltet neben einer kurzen Einführung in Zufallssummen wichtige Definitionen wie etwa die der Ruin- oder der Überlebenswahrscheinlichkeit. Wir erhalten Gleichungen für die Laplace Transformierte der Überlebenswahrscheinlichkeit im klassischen und im Erlang (2,2) Modell. Dann zeigen wir, dass diese Laplace Transformierte durch eine diskrete Fourier Transformation approximiert werden kann, was wiederum dazu führt, dass die fast Fourier Transformation zur Berechnung herangezogen werden kann. Grundsätzlich gilt: Je höher m gewählt wird, umso besser wird die Approximation, es muss jedoch angemerkt werden, dass für hohe Werte von m die Berechnung je nach Größe des Arbeitsspeichers nicht durchgeführt werden kann. In Kapitel 4 wird daher die fractional Fourier Transformation vorgestellt und es wird gezeigt, dass diese in unseren Beispielen akzeptable Approximationen mit geringeren Laufzeiten als die fast Fourier Transformation liefert.<br />

The aim of this diploma thesis is to demonstrate how the fast Fourier transformation and the fractional Fourier transformation can be applied to risk theory. The first chapter provides an introduction to both discrete- and fast Fourier transformation. The latter one is used to compute the discrete Fourier transformation with way less computation time if the number of supporting points, m, is a power of 2. Both discrete- and fast Fourier transformation will be implemented in C++ and the computation times compared to those obtained with MATLAB's fft command. As we will find MATLAB to be faster than our implementations, we will use MATLAB for further calculations. Chapter two serves as an introduction to the basic concepts of risk theory. After a short review of random sums we will give definitions of the surplus, the time of ruin, the probability of ruin and the probability of survival. Further, we will introduce the renewal equation and obtain equations for the Laplace transformation of the survival probability in both classical and Erlang (2,2) model. In chapter three we will show that we can approximate the Laplace transformation of the survival probability by a discrete Fourier transformation and thus use the fast Fourier transformation to obtain approximations for the ruin probability. It can be concluded that the larger the number of supporting points is chosen, the better our approximations are. However, for large m the computation is infeasible because of lack of memory. Thus, we present the fractional Fourier transformation, a generalisation of the discrete Fourier transformation, in chapter four. This algorithm enables us to give acceptable approximations with sustainable less computation time.