The yield curve and its minima - affine models and calibration

Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich im ersten Teil mit der klassischen finanz- mathematischen Zinstheorie, wobei der Schwerpunkt auf affinen Short-rate- Modellen liegt. Nach einem kurzen Überblick über die Kalibrierung von Zinsmodellen wendet sich die Arbeit dann der möglichen Gestalt von Zin- skurven zu. Ausgestattet mit dem nötigen Rüstzeug von Duffie et al.<br />[2003], wird die Frage nach der Gestalt von Zinskurven insoferne beantwortet, als dass es in jedem affinen Ein-Faktor-Modell immer nur normale, bucklige und inverse Zinskurven geben kann. Weiters wird ein Resultat von Jurek and Vervaat [1983] auf affine Prozesse verallgemeinert. Damit ist es möglich die Grenzverteilung des kurzen Zinsatzes von affinen Ein-Faktor-Zinsmodellen explizit in Form der Kummulantenerzeugenden anzugeben. In einem Un- terkapitel werden noch neben den beiden klassischen Modellen einige weitere Beispiele für affine Zinsmodelle angegeben und ihre Zinskurven untersucht.<br />Die Dissertation schließt mit einem Ausblick, in dem ein dreidimensionales Zinsmodell analysiert wird, das einerseits realistische kurze Zinssätze wieder gibt und andererseits auch die aktuelle Terminstruktur der Zinsen heute fle- xibel nachbilden kann.<br />

After a survey on the literature in interest rate theory and in calibration, affine one factor short rate models are considered.<br />Based on the paper Duffie et al. [2003] equations for an arbitrage free family of default free bond prices are deduced. Then the focus is on the shapes of yield curves within this large class of short rate models. The first main theorem shows that in any affine one factor short rate model there are only three different types of yield curves: normal, humped (endowed with a single local maximum and no minimum) and inverted. The shape of the yield curve depends on the current short rate. Explicit (in terms of the driving L´evy process) expressions for the frontiers, where the shapes change from one to the other are given. As a next aim, the limit distribution of the short rate process under the martingale measure is given. This result generalizes an old result for Ornstein Uhlenbeck processes, first given by Jurek and Vervaat [1983]. Several explicit examples are given.<br />The thesis concludes with a new three dimensional affine interest rate model which aimes for a fairly good yield curve calibration and realistic short rate dynamics.