Numerical solutions of singular eigenvalue problems for ODEs with a focus on problems posed on semi-infinite intervals

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit der numerischen Lösung von Eigenwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es wurden zwei unterschiedliche Methoden zur Ermittlung der Eigenwerte und Eigenfunktionen untersucht und in weiterer Folge implementiert.<br />Beim ersten Zugang handelt es sich um eine Kollokationsmethode. Der bestehende Code bvpsuite, welcher zur Lösung von singulären Randwertproblemen entwickelt wurde, wurde um ein Modul zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen erweitert.<br />Als zweiter Lösungsansatz wird eine finite Differenzenmethode betrachtet. Während die Anwendung eines Differenzenverfahrens auf reguläre Probleme bereits von vielen Autoren behandelt wurde, haben nur wenige das singuläre Problem untersucht. Im Zuge dieser Arbeit wurde sowohl ein Code für Probleme erster Ordnung als auch einer für Probleme zweiter Ordnung implementiert, die es ermöglichen auch singuläre Probleme zu lösen.<br />Bei Problemen, die auf halb-unendlichen Intervallen gestellt sind, wird eine Transformation der unabhängigen Variablen durchgeführt bevor sie durch eine der numerischen Methoden gelöst werden.<br />Als Demonstrationsbeispiel zum möglichen Vergleich der beiden Methoden dient die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung.<br />

This thesis is concerned with the computation of eigenvalues and eigenfunctions of singular eigenvalue problems (EVPs) arising in ordinary differential equations.<br />Two different numerical methods to determine values for the eigenparameter such that the boundary value problem has nontrivial solutions are considered. The first approach incorporates a collocation method. In the course of the thesis the existing code bvpsuite designed for the solution of boundary value problems was extended by a module for the computation of eigenvalues and eigenfunctions. The second solution approach represents a matrix method. A code for first order problems is realized in such a way that problems of higher order can also be solved after a transformation to the first order formulation.<br />Since many eigenvalue problems are of second order, for example Sturm-Liouville problems, we also implemented a code for second order problems and present an empirical error analysis.<br />For the solution of semi-infinite interval problems a transformation of the independent variable is carried out in such a way that the boundary value problem (BVP) originally posed on a semi-infinite interval is reduced to a singular problem posed on a finite interval. The implementation of this transformation is also incorporated into the bvpsuite package. The time-independent Schrödinger equation serves as an illustrating example.<br />