Isoperimetric problems for Minkowski valuations

Abstract

Diese Arbeit enthält Beiträge zur Lösung von isoperimetrischen Problemen für Minkowski-Bewertungen und zu funktionalen Ungleichungen. Zuerst wird gezeigt, dass jeder monotone Minkowski-Endomorphismus auf der Menge der konvexen Körper eine isoperimetrische Ungleichung erfüllt, die die klassische Urysohn-Ungleichung impliziert. Dabei ist die Blaschke--Santaló-Ungleichung für ursprungssymmetrische Körper -- die einzige Ungleichung in dieser neuen Familie, die invariant unter affinen Transformationen ist -- die stärkste Ungleichung. Weiters wird gezeigt, dass sich diese Familie von Ungleichungen nicht auf die Menge der schwach-monotonen Minkowski-Endomorphismen ausdehnen lässt. Im zweiten Teil der Arbeit werden sogenannte Asplund-Endomorphismen eingeführt, die das Konzept der Minkowski-Endomorphismen auf (koerzive) log-konkave Funktionen verallgemeinern. Es wird eine umfassende Familie von monotonen Asplund-Endomorphismen konstruiert, von denen jeder durch Einschränkung auf Indikatorfunktionen konvexer Körper auf einen monotonen Minkowski-Endomorphismus zurückgeführt werden kann. Für die konstruierte Familie wird anschließend eine Familie analytischer Ungleichungen gezeigt, von denen jede stärker als die funktionale Urysohn-Ungleichung ist. Die stärkste Ungleichung der neuen Familie ist die funktionale Blaschke--Santaló-Ungleichung für gerade Funktionen. Durch Einschränken der funktionalen Ungleichung auf Indikatorfunktionen erhält man die geometrischen Ungleichungen aus dem ersten Teil der Arbeit in einer asymptotisch optimalen Form zurück. Im dritten Teil der Arbeit wird gezeigt, dass jede stetige gerade Minkowski-Bewertung vom Grad 1 <= i <= n-1 auf der Menge der konvexen Körper, die mit Drehungen vertauscht, durch Faltung der i-ten Projektionsfunktion mit einer eindeutig bestimmten sphärischen Crofton-Distribution dargestellt werden kann. Ist diese Distribution nicht-negativ, dann existieren isoperimetrische Ungleichungen für das polare Volumen der assoziierten Minkowski-Bewertung, die die klassische Ungleichung zwischen i-tem Quermaßintegral und Volumen verschärfen. Diese große Familie an Ungleichungen vereinheitlicht frühere Ergebnisse für i=1 (aus dem ersten Teil der Arbeit) und i=n-1. In diesen beiden Fällen wurde gezeigt, dass die isoperimetrischen Ungleichungen für die affinen Quermaßintegrale, genauer die Blaschke--Santaló-Ungleichung für i=1 und die polare Petty-Projektionenungleichung für i=n-1, die stärksten Ungleichungen sind. Hier wird ein analoges Resultat für die dazwischen liegenden Homogeneitätsgrade bewiesen. Schließlich wird eine neue hinreichende Bedingung für die Existenz von minimierenden beziehungsweise maximierenden Körpern für das Volumen oder das polare Volumen von Minkowski-Bewertungen, die mit Drehungen vertauschen, gezeigt. Dieses Resultat führt zu unerwarteten Beispielen von isoperimetrischen Problemen mit maximierenden Körpern, die von Kugeln verschieden sind (und diese nicht inkludieren).

This thesis contains contributions to the solution of isoperimetric problems for Minkowski valuations, as well as to functional inequalities. First, it is shown that each monotone Minkowski endomorphism of convex bodies, gives rise to an isoperimetric inequality which directly implies the classical Urysohn inequality. Among this large family of new inequalities, the only affine invariant one -- the Blaschke--Santaló inequality (for origin-symmetric convex bodies) -- turns out to be the strongest one. A further extension of these inequalities to merely weakly monotone Minkowski endomorphisms is proven to be impossible. Secondly, the new notion of Asplund endomorphisms that generalizes Minkowski endomorphisms to the setting of (coercive) log-concave functions is introduced. A large family of monotone Asplund endomorphisms is constructed, each restricting to a monotone Minkowski endomorphism on indicators of convex bodies. Moreover, a family of analytic inequalities is proven for the constructed Asplund endomorphisms, where every inequality is stronger than the functional Urysohn inequality. The strongest one among the new family of inequalities is the functional Blaschke--Santaló inequality for even functions. By restricting the inequalities to indicators, the geometric inequalities of the first part of this thesis are recovered in an asymptotically optimal form. Thirdly, it is shown that each continuous even Minkowski valuation on convex bodies of degree 1 <= i <= n - 1 intertwining rigid motions is obtained from convolution of the ith projection function with a unique spherical Crofton distribution. In case of a non-negative distribution, the polar volume of the associated Minkowski valuation gives rise to an isoperimetric inequality which strengthens the classical relation between the ith quermassintegral and the volume. This large family of inequalities unifies earlier results obtained for i = 1 (in the first part of the thesis) and i=n - 1. In these cases, isoperimetric inequalities for affine quermassintegrals, specifically the Blaschke--Santaló inequality for i = 1 and the polar Petty projection inequality for i = n - 1, were proven to be the strongest inequalities. An analogous result for the intermediate degrees is established here. Finally, a new sufficient condition for the existence of extremals for the volume and the polar volume of Minkowski valuations intertwining rigid motions reveals unexpected examples of isoperimetric inequalities having extremals which are not (and do not include) Euclidean balls.